Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности

Для решения многих физических, технических и геометрических задач нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между такими дугами, площади тех или иных частей поверх­ности.

Основная идея всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ­ствующим элементом касательной плоскости. Поэтому полезно начать с некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и площадей на плоскости.

Перейдем к изучению поверхности в бесконечно малом, вблизи какой-нибудь её точки M(x, y).

Вычислим дифференциал вектора вдоль кривой. Тогда , где . Найдём скалярные квадраты левой и правой частей этого равенства: или

Введём для этих скалярных произведений сокращённые обозначения:

или в координатах

.

Выражение (3.8), называется первой квадратичной формой на поверхности и играет важную роль в теории поверхностей.

Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Далее посредством интегрирования, нетрудно перейти к точному вычислению длин на поверхности.

Пусть задана часть кривой на поверхности: u=u(t), v=v(t), где .

Тогда длина части кривой на поверхности выражается формулой:

.

Зная первую квадратичную форму на поверхности, можно находить и углы между кривыми.

Определение 3.4. Углом между кривыми и называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке M.

Пусть и – векторы касательных к линиям и в точке M. Тогда или, в координатах, учитывая, что для произвольного вектора , имеем

или