Вторая квадратичная форма поверхности

Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной плоскости и полностью определяет кривизну поверхности. Можно было бы само понятие второй квадратичной формы ввести, исходя из задачи о вычислении расстояния от точки поверхности до касательной плоскости, проведенной через близкую точку.

Пусть f – регулярная поверхность, заданная уравнением , а

– линия на этой поверхности. Имеем . Введём вектор нормали , тогда единичный вектор нормали в точке M к поверхности f имеет вид . Найдём квадратичную форму . Так как , то скалярное произведение и, следовательно, .

Отсюда

Здесь учтено, что , , т.е. отсутствуют слагаемые с этими произведениями.

Введём обозначения

или в координатах: и аналогично,

, .

Замечание 3.3. Здесь – дифференциал второго порядка и – квадрат дифференциала.

В формуле (3.12) правая часть равенства называется второй квадратичной формой поверхности.

Замечание 3.4. В частности, если поверхность задана явным уравнением , то , , .