Обнаружение автокорреляции

Большинство тестов на наличие автокорреляции основаны на достаточно простой идее: если корреляция во времени присутствует между случайными отклонениями e_t, то она должна проявляться и в их оценках e_t, получаемых при использовании обычного МНК. Наиболее распространенным примером реализации данного подхода является тест (критерий) Дарбина-Уотсона, который определяет наличие автокорреляции между соседними отклонениями. Этот критерий основан на применении статистики Дарбина-Уотсона (DW), определяемой соотношением:

. (5.10)

Покажем, что статистика Дарбина-Уотсона связана с выборочным коэффициентом корреляции между соседними отклонениями r следующим образом:

DW » 2(1 - r). (5.11)

Преобразуем соотношение (5.10)

(5.12)

При достаточно больших выборках сумма значительно меньше , поэтому последним членом в формуле (5.12) можно пренебречь. Тогда получим:

(5.13)

Учитывая, что математическое ожидание M(e_t) = 0, запишем формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции:

При большом числе наблюдений n суммы и будут практически одинаковы. Поэтому выборочный коэффициент корреляции r можно приближенно представить в виде:

(5.14)

Из сравнения выражений (5.13) и (5.14) следует приближенное равенство (5.11).

Согласно формуле (5.11) значения статистики Дарбина-Уотсона могут находиться в пределах 0 £ DW £ 4 и указывают на наличие либо отсутствие автокорреляции. Действительно, если автокорреляция отсутствует, то выборочный коэффициент корреляции между соседними отклонениями r » 0 и значение статистики DW будет близко к двум, что соответствует независимости случайных отклонений. Близость наблюдаемого значения статистики к нулю указывает на наличие положительной автокорреляции, к четырем – отрицательной автокорреляции. Следует заметить, что непосредственное использование статистики DW в схеме проверки статистических гипотез (H₀ : r = 0, H₁ : r > 0, r < 0) не представляется возможным. Проблема состоит в том, что распределение статистики DW зависит не только от числа наблюдений n и количества регрессоров m, но и от значений объясняющих переменных. В этом случае пороговые (критические) значения статистики указать невозможно. Однако Дарбин и Уотсон доказали, что для статистики существуют две границы (d_u - верхняя, d_l - нижняя), которые зависят только от n, m и выбираемого уровня значимости a. Значения этих границ статистики DW затабулированы (см. Приложение 6) и могут быть использованы для проверки нулевой гипотезы H₀ об отсутствии автокорреляции.

Приведем общую схему применения теста (критерия) Дарбина-Уотсона.

1. По построенному с помощью МНК эмпирическому уравнению регрессии:

определяются значения отклонений (остатков) для каждого конкретного наблюдения t, t = 1, 2, …, n.

2. По формуле (5.10) на основе полученных данных рассчитывается наблюдаемое значение статистики DW.

3. По таблице критических значений статистики DW определяются два числа d_l и d_u и делаются выводы о наличии автокорреляции по правилу, отраженному следующей таблицей.

Таблица 5.1

Статистика Дарбина-Уотсона приводится во всех компьютерных эконометрических пакетах как важная характеристика качества регрессионной модели. Несмотря на то, что тест Дарбина-Уотсона наиболее распространен в регрессионном анализе, он обладает рядом ограничений и недостатков. Его основными недостатками являются наличие зоны неопределенности для значений статистики, когда нет оснований ни принимать, ни отвергать гипотезу H₀ об отсутствии автокорреляции, а также неприменимость для так называемых авторегрессионных моделей*, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период.