Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.

Пусть V – линейное пространство над полем комплексных чисел C. Функция, ставящая в соответствие паре векторов комплексное число, и обладающая свойствами линейности по первому аргументами и «почти линейностью» по второму, называется полуторалинейной формой. Точнее, функция называется полуторалинейной, если

  1. ,
  2. ,

где , .

Примером полуторалинейной функции является скалярное произведение в унитарном пространстве.

Теорема 4.2. Полуторалинейная форма полностью определяется своими значениями на базисных векторах.

Доказательство. Пусть - базис V. Разложим векторы b и c по базису , . Тогда . Теорема доказана.

Обозначим через столбец, составленный из координат вектора b, а через – матрицу, на пересечении i-ой строки и j-го столбца которой расположено значение полуторалинейной формы от базисных векторов . Легко убедиться в равенстве , где черта обозначает знак комплексного сопряжения. Матрица называется матрицей полуторалинейной формы f в базисе .

Следствие 4.3 Полуторалинейная форма полностью определяется своей матрицей.

Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если ее значение меняется от перестановки аргументов на комплексно сопряженное, то есть .

Следствие 4.4 Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда найдется базис e, в котором ее матрица удовлетворяет равенству .

Для эрмитовых форм определен аналог квадратичной формы .

Значение квадратичной эрмитовой формы – всегда вещественное число, так как .








Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 687;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.