Действия над случайными величинами

1. Сумма (разность) случайных величин. Пусть Х, Y – случайные величины с функциями распределения F_x(x) и F_y(y) соответственно. Суммой Z = X ± Y называется с.в. Z с функцией распределения F_z(z)=P(X±Y<z).

2. Произведением с.л. Х, Y называется с.в. Z= X Y с функцией распределения F_z(z)=P(XY<z).

3. Произведением числа С на с.в. Х называется с.в. Z = СХ с функцией распределения F_z(z) = P(СХ<z).

4.2 Независимые случайные величины. Пусть Х, Y – случайные величины с функциями распределения F_x(x) и F_y(y) соответственно. Функцией совместного распределения двух с.в. Х, Y называется функция от двух переменных

Здесь под {X<x, Y<y} понимается произведение событий {X<x} и {Y<y}.

Плотностью совместного распределения непрерывных с.в. Х, Y называется функция

С.в Х, Y называются независимыми, если

. (4.1)

Из этого равенства следует, что . По определению условной вероятности

Смысл этого равенства состоит в том, что независимость с.в. Х, Y означает, что закон распределения одной из них не изменяется от того, какое значение приняла другая в результате проведения опыта.

Если с.в. Х, Y – НСВ с плотностями соответственно, то их независимость означает

(4.2)

Для ДСВ Х, Y их независимость означает

(4.3)

4.3 Свойства математического ожидания

Доказательства свойств проведем для ДСВ.

1. M[C]=C, где С=const. Действительно, P(X=C)=1. M[C]=C P(X=C)=C.

2. M[CX]=C×M[X], С – константа.

Закон распределения с.в. СХ имеет вид: С x_i ® р_i . Тогда

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]. В частности, M[X+a]=M[X]+a, a=const.

Обозначим .Тогда

В предпоследнем равенстве воспользовались свойством .

4. M[X]×M[Y] = M[X]×M[Y], если с.в. X,Y независимы.

Поскольку X,Y независимы, то из (4.3) следует . Тогда

5. Пусть с.в. Y является функцией j(X) от с.в. X. Тогда для верны формулы

для ДСВ,

для НСВ.

Действительно, закон распределения с.в. Y имеет вид . Все равные значения заменяются одним, а соответствующие вероятности складываются. Тогда по определению м.о. .