Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, биномиальный или какой-либо другой.

Пусть необходимо проверить гипотезу о том, сто случайная величина подчиняется определенному закону распределения, заданному функцией распределения , то есть . Под альтернативной гипотезой будем понимать в данном случае то, что просто не выполнена основная (то есть ).

Для проверки гипотезы о распределении случайной величины проведем выборку, которую оформим в виде статистического ряда:

			…
			…

где объем выборки.

Требуется сделать заключение: согласуется ли результаты наблюдений с высказанным предположением. Для этого используем специально подобранную величину – критерий согласия.

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. (он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.)

Критерий согласия Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения.

Для проверки гипотезы поступают следующим образом.

Разбивают всю область значений случайной величины на интервалов и подсчитывают вероятности ( ) попадания случайной величины (то есть наблюдения) в интервал , используя формулу . Тогда теоретическое число значений случайной величины , попавших в интервал , можно рассчитать по формуле . Таким образом, получим теоретический ряд распределения:

			…
			…

Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических , то проверяемую гипотезу следует отвергнуть, в противном случае принять.

Каким критерием, характеризующим степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частостями, следует воспользоваться? В качестве меры расхождения между и для К.Пирсон предложил величину:

.

Согласно теореме Пирсона, при статистика имеет - распределение с степенями свободы , где число групп (интервалов) выборки, число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение нормально, то оценивают два параметра , поэтому число степеней свободы .

Правило применения критерия сводится к следующему:

1. По формуле вычисляют - выборочное значение статистики критерия.

2. Выбрав уровень значимости , по таблице - распределения находим критическую точку .

3. Если , то гипотеза не противоречит опытным данным; если , то гипотеза отвергается.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений (то есть ). Если в отдельных интервалах их меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения (укрупнения) соседних интервалов.

Пример 14. Измерены 100 обработанных деталей; отклонения от заданного размера приведены в таблице:

Проверить при уровне значимости гипотезу о том, что отклонения от проектного размера подчиняется нормальному закону распределения.

Решение.

Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединим их с соседними. Получим следующий ряд распределения ( ):

Случайную величину – отклонение – обозначим через . Для вычисления вероятностей необходимо вычислить параметры, определяющие нормальный закон распределения . Их оценки вычислим по выборке: ,

Находим . Так как случайная величина подчиненная нормальному закону с параметрами определена на интервале , то крайние интервалы в ряде распределения заменяем, соответственно на и . Тогда .

Аналогично получаем:

Полученные результаты приведем в следующей таблице:

	13,14	16,67	22,58	21,83	15,03	10,75

Вычисляем :

.

Находим число степеней свободы; по выборке рассчитаны два параметра, значит, . Количество интервалов 6, то есть . Следовательно, зная, что и , по таблице - распределения находим .

Таким образом, , , следовательно, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу.