РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

§43. Многофазовые системы

Многофазовыми системами называется совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе и создаваемые одним источником.

Каждую из цепей, входящих в систему, называют фазой. В зависимости от числа фаз, цепи (системы) называются двухфазными, трехфазными, шестифазными и т.д.

В современной электротехнике наибольшее распространение получили трехфазные цепи. Трехфазная система была создана выдающимся русским инженером
М.О. Доливо-добровольским в 1891 году, который изобрел и разработал все звенья этой системы-генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели.

Простейший генератор трехфазной э.д.с. состоит из трех одинаковых катушек (называемых фазами генератора), вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью . Катушки (фазы) генератора расположены под углом 2/3 друг к другу (рис. 116)

Рис. 116

При вращении катушек в них будут индуктироваться э.д.с. , период которых соответствует полному обороту. Катушки одинаковы, поэтому амплитудные значения э.д.с. в фазах также будут одинаковы. Так как фазы сдвинуты относительно друг друга в пространстве на угол 2/3 , то их э.д.с. также сдвинуты по фазе на угол 2/3 .
Если за начальный принять момент времени, когда плоскость первой фазы перпендикулярна линиям магнитной индукции, то э.д.с. в первой фазе будет равна

Тогда во второй и третьей фазах э.д.с. будут соответственно равны:

Выражения для э.д.с. трехфазной системы в комплексной форме имеют вид:

Сумма мгновенных значений э.д.с. симметричной трехфазной системы (или сумма комплексов э.д.с.) равна нулю

Каждую обмотку трехфазного генератора можно соединить с отдельным приемником электрической энергии. В этом случае получается несвязанная трехфазная система, состоящая из трех отдельных цепей с шестью соединительными проводами. Несвязанная система неэкономична и на практике не применяется. Связанные трехфазные системы получаются путем соединения обмоток генератора и приемников электрической энергии звездой или треугольником.

§44. Соединение звездой

1. При соединении звездой концы фазных обмоток генератора соединяются в один узел, который называется нулевой точкой. К началам обмоток генератора присоединяют линейные провода, соединяющие генератор с приемниками электрической энергии. Если нагрузка также соединена звездой, то нулевые точки генератора и приемников можно соединить между собой проводом, который называют нулевым или нейтральным проводом.

Напряжения между линейными и нейтральным проводом называют фазными напряжениями: . Напряжения между линейными проводами называют линейными: .

Рис. 117

Мгновенные значения фазных напряжений равны

Мгновенные значения линейных напряжений равны

В комплексной форме выражение 3.6 имеет вид:

Аналогично

Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений имеет вид:

Рис. 118

При симметричной системе напряжений фазные напряжения равны по величине а следовательно одинаковы и линейные напряжения. Из векторной диаграммы (рис. 118) видно, что:
-геометрическая сумма действующих значений или алгебраическая сумма комплексов линейных напряжений равна нулю

-линейное напряжение в 1.73 ( ) раза больше, чем фазное, т.е.

Фазная обмотка генератора, фаза приемника электрической энергии и линейный провод представляют собой последовательную

цепь. Следовательно фазный ток и линейный ток при соединении звездой один и тот же, т.е.

1. При достаточно малом сопротивлении нулевого провода напряжение между узлами 0 и равно нулю, т.к. и

В этом случае обеспечивается равенство фазных напряжений генератора и соответствующих фазных напряжений нагрузок

Ток в каждой фазе трехфазной цепи при этом определяется по закону Ома

Из равенства 5.8 видно, что ток в каждой фазе не зависит от сопротивлений других фаз. Следовательно, соединение звездой с нулевым проводом без сопротивление обеспечивает независимую работу фаз.
Ток в нелинейном проводе по первому закону Кирхгофа равен суме линейных токов

При равномерной нагрузке, когда ток в нейтральном проводе равен нулю

В этом случае необходимость в нулевом проводе отпадает; он может быть отсоединен без изменения режима работы цепи. Поэтому при равномерной нагрузке (например трехфазные двигатели) применяется трехпроводная линия передачи.

2. В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление , когда ток , между нулевыми токами генератора и приемника возникает узловое напряжение В соответствии с методов двух узлов, напряжение между нейтральными точками 0 и равно:

В этом выражении – фазные напряжения генератора.

Рис. 119

В звезде без нулевого провода при неравномерной нагрузке узловое напряжение равно

Фазные напряжения на приемнике будут равны

Токи в фазах

Выражения 5.9, 5.10 и 5.12 показывают, что при изменении сопротивлений в любой из фаз (а следовательно и проводимости этой фазы) изменяется узловое напряжение , что влечет за собой изменение всех токов.

Следовательно, звезда без нулевого провода, а также с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

4. Приемники электрической энергии можно разделить на две группы. К одной из них относятся электрические лампы, нагревательные приборы и другие однофазовые приемники, которые представляют собой неравномерную нагрузку фаз. К другой группе относятся трехфазные электродвигатели, имеющие три одинаковые обмотки, создающие равномерную нагрузку всех трех фаз.

Приемники первой группы подключаются с помощью четырехпроводной линии, обеспечивающей независимую работу фаз. Ток в нейтральном проводе, как правило, значительно меньше линейных токов, поэтому сечении его в 2-3 раза меньше сечения линейных проводов.

Обрыв нейтрального провода при неравномерной нагрузке фаз приемника недопустим, так при этом происходит увеличение фазных напряжений на одних приемниках и уменьшение на других. Во избежание разрыва цепи нейтрального провода предохранители в нулевой фазе не устанавливают.

Для приемников второй группы нейтральный провод не нужен, поэтому их включают в трехфазную сеть с помощью трехпроводной линии.

§45. Соединение треугольником.

При соединении фаз генератора треугольником конец первой фазы подключают к началу второй, конец второй к началу третьей и конец третьей к началу первой фазы. Таким образом, фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении фаз генератора внутри контура, образованного фазными обмотками,-при отсутствии нагрузки никаких токов не возникает, так как сумма его э.д.с. равна нулю.

Соединив нагрузку треугольником, получим трехфазную трехпроводную систему (рис. 120).

Из схемы цепи видно, что в данном случае линейные и фазные напряжения есть одна и та же величина, т.е.

Линейные токи можно определить через фазные токи, составив для узлов уравнения по первому закону Кирхгофа.

Алгебраическая сумма линейных токов равна нулю

Построим векторную диаграмму токов, пользуясь соотношениями 5.13 (рис. 121). Из векторной диаграммы

Рис. 120

5.15

Рис.121

т.е. при равномерной нагрузке фаз линейные токи в 1.73(в раз больше фазных.
Если сопротивлением линейных проводов пренебречь, то токи в фазах нагрузки будут равны

Из анализа выражений 5.16 видно, что токи в фазах нагрузки независимы от сопротивления нагрузки в других фазах. При изменении сопротивления нагрузки в одной фазе изменяется ток в этой фазе и два линейных тока, примыкающих к этой фазе; токи в остальных фазах останутся неизменными. Следовательно, треугольник при незначительном сопротивлении линейных проводов обеспечивает независимую работу фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю, то вследствие падения напряжения в проводах, треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. (рис 121а).

Так, например, изменение сопротивления нагрузки изменение линейных токов При этом изменяется падения напряжений на сопротивлениях . Это вызовет изменение напряжений на фазах нагрузки при неизменных напряжениях на фазах генератора, а следовательно и изменение токов во всех фазах.

Расчет цепей при соединении нагрузки треугольником удобнее производить методом преобразования соединения треугольником в соединение звездой (рис. 121б), где

После определения фазных и линейных напряжений для цепи (рис.121б) переходят к треугольнику, чтобы найти фазные токи.

Рис. 121

§46. Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенное значение мощности трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равно сумме мгновенных значений мощностей каждой фазы

В случае симметричной системы с равномерной нагрузкой, мгновенное значение можности равно

так как сумма трех косинусоид, сдвинуты по фазе на равна нулю.

Таким образом, мощность трехфазной системы при равномерной нагрузке фаз не зависит от времени, т.е. является величиной постоянной, в то время как в однофазной цепи мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой.

Среднее значение мощности за период (активная мощность) определяется в этом случае тем же выражением, что и мгновенная мощность

Если фазные напряжения и токи выразить через линейные, то независимо от способа соединения фаз, мощность равномерно нагруженной трехфазной системы можно вычислить по формуле

Многофазная система, мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Вследствие уравновешенности трехфазные двигатели имеют постоянный вращающийся момент.

Изменение мощности трехфазной симметричной одинаково нагруженной системы производят с помощью одного ваттметра, показания которого умножают на три. Схема включения ваттметра показана на (рис. 122а).

Рис. 122

В случае неодинаковой нагрузки фаз система является неуравновешенной. Средняя (активная) мощность такой системы равна сумме активных мощностей фаз

Следовательно, в данном случае мощность системы может быть изменена с помощью трех ваттметров (рис. 122б).
Мощность трехпроводной трехфазной системы при любой нагрузке (симметричной или несимметричной), независимо от способа соединения фаз приемника (звездой или треугольником), можно изменить с помощью двух ваттметров, включенных по схеме (рис.123)

Рис. 123

Мгновенные мощности, определяемые ваттметром, соответственно равны:

Сумма этих мощностей, с учетом равенств равна:

Переходя к средним значениям мощностей, получим выражение для активной (средней) мощности всей системы:

При изменении мощности с помощью двух ваттметров необходимо учитывать, что если стрелка одного из ваттметров отклоняется влево(зашкаливает), то необходимо изменить направление тока или напряжения в этом ваттметре. При суммировании показания ваттметра с неправильным отклонением стрелки нужно брать со знаком «минус».
Полная и реактивная мощность симметричной одинаково нагруженной системы равны суммам соответствующих мощностей фаз

или

или

§ 47. Преимущества трехфазной системы перед однофазной

Трехфазная система имеет следующие преимущества перед однофазной:
1) Расход металла для передачи одинаковой мощности в трехфазной системе значительно меньше, чем в однофазной. Так, например, соотношение расхода металла для однофазной системы, трехфазной при соединении в треугольник, в звезду без нулевого провода и в звезду с нулевым проводом, равно:

100 : 75 : 25 : 29,2

2) Основным преимуществом трехфазной системы является возможность получения вращающегося магнитного поля с помощью неподвижных катушек. Это свойство используется в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по устройству и надежных в эксплуатации.
3) Трехфазные двигатели представляют симметричную нагрузку, т.е. является уравновешенной системой, средняя мощность которой постоянная. Вследствие уравновешенности трехфазные двигатели имеют постоянный вращающийся момент ( при неизменной нагрузке на валу двигателя).

§48. Вращающееся магнитное поле