Аналитическое решение игры размера 2×2

Рассмотрим игру размера 2×2 с платежной матрицей

Для игры размера 2×2, в которой отсутствует седловая точка, решением игры по теореме Неймана будет пара смешанных стратегий

и , , .

Чтобы их найти, воспользуемся теоремой 3. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии , то его средний выигрыш будет равен цене игры V при любой активной стратегии второго игрока. Для данной игры размера 2×2 любая чистая стратегия игроков является активной. Если первый игрок использует оптимальную смешанную стратегию , а второй игрок применит первую активную стратегию, то выигрыш первого игрока равен цене игры:

Если первый игрок использует оптимальную смешанную стратегию , а второй игрок применит вторую активную стратегию, то выигрыш первого игрока снова будет равен цене игры:

Приравнивая левые части уравнений и учитывая, что = ,

получаем уравнение относительно :

, откуда находим оптимальную стратегию первого игрока:

, =

и цену игры:

Так как цена игры уже найдена, то для определения оптимальной стратегии второго игрока достаточно одного уравнения, которое получаем, если второй игрок применяет оптимальную стратегию, а первый – свою первую активную стратегию:

,

откуда , учитывая, что , получаем:

= ,

Найдем решение по этим формулам игры Эдварда и Феоны.

Платежная матрица игры : , поэтому

, = ; ; = , = ;

Оптимальные стратегии игроков:

и

Игра для Эдварда невыгодная: в среднем за каждую игру он будет проигрывать доллара.