Задача максимизации объема производства.

Для пошива пальто и курток швейная фабрика использует ткань двух типов. На изготовление одного пальто расходуется 2 м ткани первого типа и 1,5 м ткани второго типа. Для пошива куртки аналогичные данные составляют 1,5 м ткани первого типа и 1 м ткани второго типа. В распоряжении фабрики ежедневно имеется 300 м ткани первого типа и 180 м ткани второго типа. Ежедневный спрос на куртки не превышает 60 штук. Какое количество пальто и курток надо сшить, чтобы в рамках этих ресурсов прибыль фабрики, определяемая функцией , была максимальной?

Для решения задачи снова построим математическую модель. Обозначим через и запланированное количество пальто и курток. Ограниченные запасы тканей и спрос на куртки означают, что переменные и должны удовлетворять системе неравенств:

(3)

Кроме того, по смыслу задачи они должны быть неотрицательными:

(4) .

Прибыль фабрики по условию определяется формулой:

(5) +

Итак, математическая модель задачи такова: найти числа и , являющиеся решениями системы (3) и удовлетворяющие условию (4), при которых функция (5) имеет максимальное значение.

Так как целевая функция снова не является линейной, то эта задача, как и предыдущая, является задачей нелинейного программирования. Найдем ее решение, используя снова геометрическую интерпретацию.

Так как + = , то линиями уровня k функции являются параболы с вершинами в точках с координатами (40, ), где = – 1600 + k.

Условия (3) и (4) определяют четырехугольник OABC (рис 1.2), координаты точек которого являются неотрицательными решениями системы (3).

Поэтому функция принимает максимальное значение в точке касания одной из парабол с верхней границей четырехугольника OABC. Точка D(40, 60) является точкой касания искомой параболы с прямой AB.

max = (40, 60) = 1660.

В рассмотренных примерах точки, в которых целевая функция принимала оптимальное значение, не являлись вершинами многоугольника допустимых решений, и область допустимых решений не всегда является многоугольником. Поэтому метод перебора вершин многоугольника допустимых решений задачи линейного программирования и связанный с ним симплекс-метод неприменимы для решения задач нелинейного программирования.