Двумерные преобразования

Рассмотрим преобразования координат точек на плоскости. На рисунке 5 точка A перенесена в точку B.

Рис. 5. Операция переноса точки A в точку B.

Математически этот перенос можно описать с помощью вектора переноса . Пусть радиус вектор, соответствующий вектору переноса . Тогда переход из точки A в точку B будет соответствовать векторной записи . Отсюда получаем, что для переноса точки в новое положение необходимо добавить к ее координатам некоторые числа, которые представляют собой координаты вектора переноса:

(1)

Масштабированием объектов называется растяжение объектов вдоль соответствующих осей координат относительно начала координат. Эта операция применяется к каждой точке объекта, поэтому можно также говорить о масштабировании точки. При этом, конечно, речь не идет об изменении размеров самой точки. Масштабирование достигается умножением координат точек на некоторые константы. В том случае, когда эти константы равны между собой, масштабирование называется однородным.

Рис. 6. Операция масштабирования .

На рис.6 приведен пример однородного масштабирования треугольника ABC. После применения операции однородного масштабирования с коэффициентом 2 он переходит в треугольник A'B'C'. Обозначим матрицу масштабирования

. (2)

Для точек A и A' операция масштабирования в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

. (3)

Или в матричном виде

A' = A S (4)

Рассмотрим далее операцию вращения точки на некоторый угол относительно начала координат. На рисунке 7 точка A = (x, y) переходит в точку B = (x', y') поворотом на угол a.

Рис. 7. Операция поворота точки A на угол a.

Найдем преобразование координат точки А в точку В. Обозначим b угол, который составляет радиус-вектор с осью Оx. Пусть r – длина радиус-вектора , тогда

(5)

Так как и , то подставляя эти выражения в уравнения для x' и y', получаем:

(6)

В матричном виде вращение точки А на угол a выглядит следующим образом:

(7)

Введем обозначение

Тогда в матричном виде получим

A' = A R (8)








Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 867;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.