Атом водорода по Бору

По теории Бора в атоме водорода электрон движется вокруг ядра по одной из «разрешенных» ему круговых орбит, каждая из которых соответствует определенному значению энергии. Чем больше радиус орбиты, тем больше энергия.

Читатель: А почему с удалением электрона от ядра энергия возрастает?

Автор: Мы имеем систему двух одинаковых по величине зарядов: положительного с зарядом +е (ядро) и отрицательного с зарядом –е (электрон). Поскольку масса ядра примерно в 1800 раз превосходит массу электрона, то ядро мы считаем неподвижным. Электрон, вращаясь вокруг ядра по окружности радиуса r, обладает, во-первых, кинетической энергией , а во-вторых, потенциальной энергией (где ).

Под потенциальной энергией мы понимаем работу, которую совершают силы взаимодействия электрона с ядром при удалении электрона с орбиты радиуса r на бесконечность. Поскольку заряды +е и –е притягиваются, то эта работа отрицательная.

Так как электрон движется по окружности, он имеет центростремительное ускорение , и второй закон Ньютона для электрона имеет вид

. (1)

Полная энергия системы «ядро – электрон» равна

. (2)

Выразим скорость из уравнения (1): , подставим в (2) и получим: .

Итак, запомним: полная энергия атома водорода равна

. (24.4)

Значит, чем меньше r, тем меньше Е.

Значение энергии по теории Бора для п-й орбиты электрона равно

, (24.5)

где с – скорость света, h – постоянная Планка, R постоянная Ридберга, п – порядковый номер стационарной орбиты.

Минимальное значение энергии (при п = 1) Е₁ = –chR, а максимальное (при п ® ¥) Е_п = 0. Тогда изменение энергии при переходе с k-й орбиты на п-ю (п < k) равно

.

Запомним:

. (24.6)

С учетом того, что DЕ = hn, получим

или

. (24.7)

Рис. 24.5

Это уже знакомая нам формула. В самом деле, при п = 1 мы получаем серию Лаймана, при п = 2 – серию Бальмера, при п = 3 – серию Пашена, при п = 4 – серию Брэкета, при п = 5 – серию Пфунда.

Иными словами, серия Лаймана образуется переходами со всех вышележащих орбит на первую, серия Бальмера – переходами со всех вышележащих орбит на вторую, серия Пашена – на третью, серия Брэнета – на четвертую, серия Пфунда – на пятую (рис. 24.5).

Задача 24.2. На какие стационарные орбиты переходят электроны в атоме водорода при испускании лучей: видимых, ультрафиолетовых, инфракрасных?

Решение. Воспользуемся уравнением (24.7), разделим обе его части на с, учтем, что и , и получим

,

где R = 1,097×10⁷ 1/м – постоянная Ридберга.

1. Пусть п = 1, тогда (серия Лаймана). Наименьшая разность энергий (а значит, наибольшая длина волны) наблюдается при переходе со второго уровня на первый. Если k = 2, получим

м.

Наибольшая разность энергии (а значит, наименьшая длина волны) наблюдается при переходе с бесконечно высокого уровня на первый. Если k ® ¥, то

l_мин = [R(1 – 0)]^–1 = (1,097×10⁷)^–1 » 0,91×10^–7 м.

Значит, все длины волн серии Лаймана лежат в интервале от 0,91×10^–7 до 1,2×10^–7 м. Это ультрафиолетовый свет.

2. Пусть п = 2, тогда (серия Бальмера). Наименьшая разность энергий (а значит, наибольшая длина волн) получится при переходе на второй уровень с третьего:

м

– это длина волны видимого спектра (красный свет). Но вот если k ® ¥, то получим

м

– это уже ультрафиолет. Таким образом, некоторые переходы на второй уровень энергии дают видимое излучение, а некоторые (при больших k) – ультрафиолетовое.

3. Пусть п = 3, тогда (серия Пашена).

м,

м.

Все эти волны лежат в инфракрасной части спектра.

Ясно, что при п > 3 (серии Брэкета и Пфунда) длины волн будут больше.

Итак, мы можем сформулировать ответ: при переходе на 1-ю стандартную орбиту излучаются ультрафиолетовые лучи, при переходе на 2-ю стационарную орбиту – видимые и ультрафиолетовые лучи, при переходе на 3-ю стационарную орбиту и выше – инфракрасные.

СТОП! Решите самостоятельно: В2–В5, С1–С3.

Задача 24.3. Определить энергию, испускаемую при переходе электрона в атоме водорода с третьей орбиты на первую.

п = 1 k = 3	Решение. Воспользуемся формулой (24.6), тогда искомая энергия будет равна
DЕ = ?

= Дж.

Ответ: Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: В6–В8.

Следует отметить, что успехи теории Бора в основном ограничились объяснением спектра водорода. Для всех остальных атомов теория Бора должных объяснений дать не смогла. Но Бор сделал первый шаг от классической физики к современной физике микромира – квантовой механике. Но с этим интереснейшим разделом физики вы познакомитесь уже в вузе.