На какой угол призма отклоняет луч?

Рассмотрим призму с малым преломляющим углом j (рис. 6.3) и абсолютным показателем преломления п. Пусть на боковую грань призмы падает из воздуха луч под малым углом падения a.

Рис. 6.3

Читатель: А что значит «малым»?

Автор: Под «малыми» углами в этом параграфе мы будем понимать такие углы, для которых справедливо равенство sina » a.

Наша задача найти угол q между лучом, падающим на призму, и лучом, вышедшим из призмы (см. рис. 6.3). Рассмотрим внимательно рисунок. Луч МА входит в призму в точке А и после преломления на боковой грани ОL идет в направлении АВ. Угол падения луча a, угол преломления b. При этом после первого своего преломления луч отклоняется от своего первоначального направления на угол a – b.

Дойдя до второй грани призмы OK луч испытывает второе преломление в точке В и выходит наружу. Угол падения луча a₁, а угол преломления b₁. После этого преломления луч еще раз отклоняется к основанию, в этот раз на угол b₁ – a₁.

Таким образом, общее отклонение луча от первоначального направления будет

q = (a – b) + (b₁ – a₁). (6.1)

В этом можно убедиться из чисто геометрических соображений. Рассмотрим продолжение падающего луча АЕ и продолжение луча, вышедшего из призмы, DB. Угол между ними q = ÐBDE – это и есть угол отклонения луча от первоначального направления.

Из треугольника ADВ видно, что ÐBDE является его внешним углом, поэтому он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Получаем то же выражение для угла q = (a – b) + + (b₁ – a₁).

В четырехугольнике АОСВ два угла (ÐОАС и ÐОВС) – прямые, а сумма всех углов четырехугольника равна 360°. Поэтому:

j + 90° + 90° + ÐАСВ = 360° Þ ÐАСВ = 180° – j. (1)

С другой стороны, сумма углов DАВС равна 180°, тогда

b + a₁ + ÐАСВ = 180°. (2)

Подставляя (1) в (2), получим

b + a₁ + 180° – j = 180° Þ b + a₁ = j. (3)

Запомним:

j = b + a₁. (6.2)

Теперь воспользуемся законом преломления. Поскольку все углы здесь малые, то sina » a, sinb » b, sina₁ » a₁, sinb₁ » b₁, тогда

a = bп, (4)

b₁ = пa₁. (5)

Осталось выразить искомый угол g отклонения луча q через преломляющий угол призмы j и показатель преломления п. Для этого преобразуем равенство (6.1), учитывая, что q = b + a₁ и используя равенства (4) и (5):

q = (a – b) + (b₁ – a₁) = (a + b₁) – (b + a₁) =

= (bп + пa₁) – (b + a₁) = п(b + a₁) – (b + a₁) =

= (п – 1)(b + a₁) = (п – 1)j.

Итак, мы получили важную формулу

q = j(п – 1). (6.3)

Она устанавливает связь между преломляющим углом призмы j, показателем преломления призмы п и углом отклонения луча q. При этом оказывается, что угол отклонения q не зависит от угла падения a!

Читатель: А если луч падает на призму не из воздуха, а, например, из воды?

Автор: В этом случае п в формуле (6.3) – это относительный показатель преломления материала призмы относительно среды, в которой находится призма.

СТОП! Решите самостоятельно: А4, С1, D1, D4.

Задача 6.1. Луч света падает на стеклянную призму с показателем преломления 1,5. Угол падения при входе луча в призму 22°. Преломляющий угол призмы 41°. Определить угол преломления луча при выходе из призмы. На какой угол отклонится луч от первоначального направления, пройдя сквозь призму?

n = 1,5 a = 22° j = 41°	Решение. В данном случае и угол падения a, и угол преломления j нельзя считать малым, поэтому расчет несколько усложняется (рис. 6.4). Будем проводить вычисления последовательно. 1. Рассмотрим первое преломление луча в точке А:
q= ?