Электрического тока. Согласно формуле (15.6) мощность электрического тока равна:

Согласно формуле (15.6) мощность электрического тока равна:

P = UI. (1)

Согласно закону Ома:

. (2)

Подставим значение I из (2) в (1) и получим:

Мы получили еще одну формулу для расчета мощности тока:

. (15.11)

Теперь выразим из формулы (2) напряжение через ток и сопротивление:

U = IR. (3)

Подставим значение U из (3) в (1) и получим:

P = (IR) × I = I²R.

Итак:

P = I²R. (15.12)

СТОП! Решите самостоятельно: С1, С2.

Задача 15.1. Какую мощность будет потреблять 25-ваттная лампочка, рассчитанная на напряжение U₁ = 120 В, если ее включить в сеть с напряжением U₂ = 220 В?

Р₁ = 25 Вт U₁ = 120 В U₂ = 220 В	Решение. Пусть R – сопротивление лампы, тогда согласно формуле (15.10) . Находим искомую мощность
Р₂ = ?

84 Вт.

Ответ: 84 Вт.

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А5, В2, В3, С3.

Задача 15.2. Электропечь должна давать количество теплоты Q = 0,10 МДж за время t = 10 мин. Какова должна быть длина нихромовой проволоки сечения S = 0,50 мм², если печь предназначается для сети с напряжением U = 36 В? Удельное сопротивление нихрома r = 1,2 мкОм×м.

Q = 0,10 МДж = 1,0×10⁵ Дж t = 10 мин = 6,0×10² с S = 0,50 мм² = 0,50×10^–6 м² U = 36 В r = 1,2 мкОм×м = 1,2×10^–6 Ом×м	Решение. По формуле (15.9) , где – сопротивление проволоки. Тогда
l = ?

3,2 м.

Ответ: 3,2 м.

СТОП! Решите самостоятельно: А6, В4, В5, С4.

Полезная мощность

Задача 15.3. Источник тока с ЭДС õ и внутренним сопротивлением r подключен к нагрузке сопротивлением R. Определить полезную мощность источника тока – мощность, выделенную на нагрузке. Построить график зависимости полезной мощности от сопротивления нагрузки Р = Р(R).

õ r R	Решение. Согласно закону Ома для замкнутой цепи ток I = õ/(R + r). Из закона Джоуля–Ленца следует, что мощность, выделяемая на нагрузке, Р = I²R (формула (15.12)). Тогда P = I²R = [õ/(R + r)]²×R = õ²R/(R + r)².
P(R) = ?

Итак, получаем ответ:

Р = [õ²/(R + r)²]×R. (15.12)

Построим график Р = Р(R). Если R = 0, то Р = [õ²/(0 + r)²] ×0 = 0. Если R ® ¥, то Р = [õ²/(R + r)²] ×R = [õ²/R]= 0.

При малых R (R << r) функция Р(R) линейно растет с ростом R: Р » (õ²/r²)×R. При больших R (R >> r) функция Р(R) убывает по закону Р » õ²/R. Значит, при каком-то R функция Р(R) должен иметь максимум. Вычислим производную Р¢(R) и приравняем ее к нулю. Для этого воспользуемся формулой, известной нам из курса математики: . Получим

Р¢(R) = [õ²R/(R + r)²]¢ = õ² =

Приравнивая Р¢(R) к нулю, получим

Значит, при R = r функция Р(R) = õ²R/(R + r)² достигает максимума, и ее значение при этом равно

Р_max = [õ²r/(r + r)²] = õ²r/4r² = õ²/4r.

Рис. 15.1

Итак, запомним: полезная мощность достигает своего максимального значения, если сопротивление нагрузки R равно внутреннему сопротивлению источника тока; при этом максимальное значение полезной мощности равно

Р_max = õ²/4r. (15.13)

График P(R) показан на рис. 15.1.

СТОП! Решите самостоятельно: А9, А10, В6, В7.

Рис. 15.2

Автор: Как Вы считаете, может ли один и тот же источник на разных нагрузках давать одинаковую мощность?

Читатель: Судя по рис. 15.1, наверное может: одной и той же мощность Р₀ соответствуют два сопротивления нагрузки R₁ и R₂ (рис. 15.2).

Автор: Совершенно верно!

Задача 15.4. К источнику ЭДС подключаются поочередно резисторы с сопротивлениями R₁ и R₂. В обоих случаях на резисторах выделяется одинаковая мощность. Определите внутреннее сопротивление r источника.

R₁ R₂ P(R₁) = P(R₂)	Решение. Обозначим ЭДС источника через õ. Резисторы с сопротивлениями R₁ и R₂ потребляет соответственно мощности Р₁ = [õ²/(R₁ + r)²]×R₁ и Р₂ = [õ²/(R₂ + r)²]×R₂. Тогда
r = ?

Р₁ = Р₂ Þ õ²R₁/(R₁ + r)² = õ²R₂/(R₂ + r)² Þ

Итак, запомним ответ:

(15.14)

СТОП! Решите самостоятельно: А11, В8–В10, С5.

Полезная, «бесполезная»

И полная мощности

Рис. 15.3

Пусть имеется электрическая цепь, показанная на рис. 15.3, где õ – ЭДС, r – внутреннее сопротивление, а R – сопротивление нагрузки. Тогда сила тока в цепи I = õ/(R + r).

Полезной мощностью называется мощность, выделяемая на нагрузке: P = I²R = [õ/(R + r)]²×R – это как раз та мощность, которую получит потребитель тока (лампочка, телевизор и т.д.).

В то же время ток проходит и через источник тока, значит, на нем тоже выделяется мощность, которую условно можно назвать «бесполезной»:

P_б = I²r = [õ/(R + r)]²×r. (15.15)

Полная мощность в цепи равна сумме полезной и «бесполезной» мощностей:

Р₀ = Р + Р_б = I²R + I²r = I²(R + r) =

= [õ/(R + r)]²(R + r) = õ²/(R + r).

Запомним:

Р₀ = õ²/(R + r). (15.16)

Рис. 15.4

Графики зависимости P_б(R) и P₀(R) показаны на рис. 15.4. Как видно из рисунка, при R = 0 (короткое замыкание) полная мощность равна «бесполезной» мощности и равна õ²/r.

Заметим также, что полная мощность, выделяемая в цепи, равна мощности сторонних сил, так как вся работа, совершаемая сторонними силами внутри источника тока, расходуется на работу, совершаемую электрическим током в источнике и в сопротивлении нагрузки:

А_стор = Р₀t Þ Р₀ = А_стор/t = õq/t,

где q – заряд, переносимый через источник тока за время t. А поскольку q/t = I, то получим

Р₀ = õI. (15.17)

Тогда, поскольку Р₀ = Р + Р_б, получим

Р= Р₀ – Р_б = õI – I²r.

Запомним, что полезная мощность определяется также формулой

Р = õI – I²r, (15.18)

Рис. 15.5

которая показывает зависимость полезной мощности от тока. График этой зависимости показан на рис. 15.5. Из графика видно, что полезная мощность достигает максимума при токе I = õ/2r. Величина мощности при этом Р_max = õ²/4r, что полностью согласуется с формулой (15.13).

Читатель: А почему при I = õ/r полезная мощность равна нулю?

Автор: Потому что это – ток короткого замыкания! То есть ситуация, при которой сопротивление нагрузки равно нулю (R = 0):

I = õ/(r + 0) = õ/r.

Ясно, что если R = 0, то

Р = I²r= I²×0 = 0.

СТОП! Решите самостоятельно: А7, А8, А12, В12–В14, С6, С9.

КПД источника тока

Коэффициентом полезного действия (КПД) источника тока называется отношение полезной мощности к полной мощности:

. (15.19)

Задача 15.5. Найти КПД схемы, в которую включен элемент с ЭДС õ и внутренним сопротивлением r, если ток в цепи равен I. Выразить КПД: черезõ, r и I; через сопротивление внешней цепи R и внутреннее сопротивление элемента r; через õ и напряжение на его зажимах U.

õ I r R U	Решение. Начнем с последнего вопроса. Вспомним, что напряжение на нагрузке R – это работа по перемещению единичного положительного заряда через это сопротивление, а значит, A = Uq = UIt – это полезная работа. Тогда полезная мощность Р = А/t = UI, а полная мощность согласно формуле (15.17) Р₀ = õI. Теперь найдем искомый КПД: = UI/õI = U/õ.
h = ?

Рис. 15.5

Итак, запомним:

h = U/õ. (15.20)

С другой стороны, U = IR = [õ/(R + r)]R. Подставив это выражение в (15.20), получим

h =	[õ/(R + r)]R	= .
õ

Запомним:

(15.21)

И, наконец, вспомним еще одну формулу: U = õ – Ir, тогда

h = (õ – Ir)/ õ. (15.22)

Графики зависимостей КПД от R и r показаны на рис. 15.6.

СТОП! Решите самостоятельно: А13, А16, В15–В18.

<123 4 5 6 7 >

Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1126;