Выборочные центральные моменты. Асимметртя и эксцесс

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. Вводят специальные характеристики: асимметрию и эксцесс.

Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был введен впервые Пирсоном, 1895), является мерой несимметричности распределения. Если этот коэффициент значительно отличается от 0, распределение является асимметричным (т.е. несимметричным, сдвинуто влево или вправо). Для нормального распределения эти характеристики равны нулю.

Асимметрией теоретического распределенияназывают отношение центральногомомента третьего порядка к кубу среднего квадрата отклонения.

Центральным моментом порядка kслучайной величины X называется математическим ожиданием величины (X – M(X))^k, обозначается через μ_k.

Таким образом, по определению

μ_k = M(X – M(X))^k.

В частности, μ₂ = D(X), то есть центральный момент 2-го порядка есть дисперсия

μ₁ = M(X – M(X)) = 0

Для дискретной случайной величины

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от М₀(X) (рис.13);

если А < 0, то кривая распределения более полога слева от М₀(X) (рис.14).

Рис.13

Рис.14

Коэффициентом эксцесса Е("островершинности") случайной величины X называется величина

Эксцесс или коэффициент эксцесса (термин был впервые введен Пирсоном, 1905), измеряет остроту пика распределения. Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Если

Е > 0 – более островершинные, а распределения "плосковершинные" и “многовершинные” имеют Е < 0 (рис. 15)

Рис.15

2.4.3. Показатели вариации: , ( ), ( S ), ,

1. - размах

2. Для определения меры рассеяния значений количественного признака Х генеральной совокупности около генеральной средней вводят понятие генеральной дисперсии

В статистическом понимании генеральная дисперсия есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего арифметического.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значения наблюдаемых значений признака от выборочной средней.

(для n>30) - выборочная дисперсия, служит оценкой генеральной дисперсии.

(для ) - исправленная выборочная дисперсия (несмещенная)

Дисперсия является важной характеристикой при генетическом анализе популяций и селекции животных. Здесь дисперсия служит характеристикой изменчивости некоторого признака особей данной совокупности.

3.Основным показателем изменчивости является среднее квадратическое отклонениеS( выборочное ), равное корню квадратному из дисперсии:

или ( ) - исправленное

Среднее квадратическое отклонение не только характеризует изменчивость признака, но и выявляет особенности изменения признака у особей данной совокупности. Например, может быть такая ситуация, когда две сопоставляемые совокупности имеют одинаковые величины х_max, x_min и выборочную среднюю, но по особенностям изменения признака и величине среднего квадратического отклонения отличаются.

Пример. Нужно сопоставить изменчивость плодовитости самок песцов двух групп. В каждой группе было по пять самок. Показатели их плодовитости следующие:

группа	Число щенков в помете	Номер самки в группе
1 2 3 4 5
		7 8 9 8 10   7 8 10 7 10

Среднее значение по группам:

головы; головы.

Среднее квадратическое отклонение по группам:

головы;

головы.

Следовательно, при одинаковых максимальных и минимальных значениях признака и средних арифметических сравниваемые ряды различаются по величине . Изменчивость плодовитости самок 2 группы оказалось выше, чем 1 группы.