Понятие о частотных характеристиках
Как известно, полное решение общего дифференциального уравнения САУ складывается из двух составляющих:
1. Свободной составляющей, которая находится из решения однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения)
. (1.10)
2. Вынужденной составляющей (частное решение), которая полностью определяется законом изменения во времени внешнего воздействия на САУ.
Удобно рассматривать динамику САУ (рисунок 1.1) или звена САУ при гармоническом изменении входной величины
.
Тогда спустя некоторое время после начала действия XВХ на выходе системы установятся гармонические колебания той же частоты, что и частота входного воздействия, но имеющие другую амплитуду и фазу, т.е. вынужденную составляющую XВЫХ.
хВЫХ |
хВХ |
jВХ |
jВЫХ |
j |
wt |
Рисунок 1.3 – Входное и выходное значения
Очевидно, что при подаче на вход системы воздействия с той же амплитудой AВХ и начальной фазой jВХ, но другой частоты на выходе системы амплитуда AВЫХ и фаза jВЫХ будут иные.
Пример 1.1.
u = Umsinwt |
L |
i |
R |
в данном случае Im и j являются функцией w.
Зависимость относительной амплитуды выходной величины от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) САУ
- АЧХ. (1.11)
Зависимость сдвига фаз между гармоническими колебаниями выходной и входной величины от частоты называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) САУ
А, j |
А(w) |
j(w) |
w |
- ФЧХ . (1.12)
Рисунок 1.4 – Зависимость АЧХ и ФЧХ от частоты
Совместное изменение амплитуды и фазы выходной величины от частоты можно получить, если представить синусоидальные функции в комплексной форме:
,
. (1.13)
АЧХ |
ФЧХ |
. (1.14)
Комплексная функция W(jw) называется комплексным коэффициентом передачи САУ или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) САУ. Модуль этой функции представляет собой АЧХ, а аргумент – ФЧХ.
В общем случае W(jw) может быть представлен в виде числа
, (1.15)
где P(w) – называется вещественной частотной характеристикой САУ (ВЧХ);
Q(w) – называется мнимой частотной характеристикой САУ (МЧХ).
Между собой ВЧХ, МЧХ и АЧХ, ФЧХ связаны
(1.16)
График называется годографом - год =
АФЧХ тесно связана с передаточной функцией САУ. При синтезе и анализе систем используются частотные методы, для этого к уравнению (1.1) следует применить преобразование Фурье. Для получения АФЧХ расчетным путем необходимо в передаточной функции звена или САУ положить Рисунок 1.5 – АЧХ, ФЧХ и p = jw.
ВЧХ,МЧХ
Пример 1.2.
Для функции , ,
должно быть .
Пусть входная величина изменяется по синусоидальному закону, тогда:
, (1.17)
или в комплексной форме
, (1.18)
тогда
.
(1.19)
Таким образом, действительно АФЧХ получилась из передаточной функции заменой p = jw, в общем случае можно записать:
W(jw) = [W(p)]р = jw. (1.20)
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 654;