Математические модели роста отдельной популяции. Анализ модели «хищник-жертва». Фазовые портреты.

Модели роста отдельной популяции.

Уравнение логистической кривой Ферхюльста получается при учете самоограничения роста популяции в условиях тесноты и конкуренции внутри популяции. Оно имеет вид

Уравнения стационарных состояний

Имеет два корня

Согласно критерию устойчивости знак производной правой части

В стационарной точке определяет ее устойчивость.

Подставив значение х₁=0 получим что , тоесть состояние неустойчиво.

Другое состояние (х₂) устойчиво, так как всегда

Устойчивое состояние соответствует максимальной ччивленности популяции, или емкости среды, возможной в данныйх условиях.Как видно, величина зависит от соотеошения костант эпсилони сигма, притока и убыли численности популяции.

Уравнение удобно переписать в виде

Если мы берем разнополую популяцию, то, при условии неограниченных ресурсов скорость размножения определяется числом встреч самцов и самок и квадратично растет с ростом числа особей

Однако когда плотность популяции очень велика, скорость размножения лимитируется не числом встреч самцов и самок, а числом часмок в популяции. Оба эффекта – квадратичная зависимость скорости размножения и ее некоторое ограничение при больших плотностях учитывается как

Введя член, описывающий смертность, пропорциональную численности, получим

Это уравнение имеет два стационарных решения

Точка х₁=0 устойчива, а точка х₂= l – неустоцчива. Если начальная популяция по численности меньше l, то популяция вырождается и ее численность стремится к нулю. При размере популяции больше l она растет неограниченно.

Введем ограничение сверху.

Модель Хищник – жертва.

Найдем координаты особой точки, прировняв правые части к нулю. Это дает стационарные ненулевые значения

Линеаризация системы вблизи точки дает

Характеристическое уравнение системы

Корни уравнения чисто мнимые, тип особой точки – центр.