Анализ размерностей

Основные понятия теории моделирования

Моделированием называется метод экспериментального изучения модели явления вместо натурного явления. Модель выбирают так, чтобы результаты эксперимента можно было распространить на натурное явление.

Пусть моделируется поле величины w. Тогда при точном моделировании в сходственных точках модели и натурного объекта должно соблюдаться условие

(9.1)

где масштаб моделирования.

В случае приближенного моделирования получим

(9.2)

Отношение называется степенью искажения.

Если степень искажения не превосходит точности измерения, то приближенное моделирование не отличается от точного. Нельзя заранее сделать так, чтобы величина не превышала некоторого наперед заданного значения, так как в большинстве случаев ее нельзя заранее даже определить.

Метод аналогий

Если два физических явления различной физической природы описываются тождественными уравнениями и условиями однозначности (краевыми или в стационарном случае граничными условиями), представленными в безразмерной форме, то явления называются аналогичными. При этих же условиях явления одной физической природы называются подобными.

Несмотря на то, что аналогичные явления имеют различную физическую природу, они относятся к одному индивидуальному обобщенному случаю. Это обстоятельство позволило создать весьма удобный метод аналогий для изучения физических явлений. Сущность его состоит в следующем: обследованию подвергается не изучаемое явление, для которого трудно или невозможно измерить искомые величины, а специально подобранное аналогичное изучаемому. В качестве примера рассмотрим электротепловую аналогию. В этом случае изучаемое явление - стационарное температурное поле, а его аналогия - стационарное поле электрического потенциала

Уравнение теплопроводности

(9.3)

где абсолютная температура,

и уравнение электрического потенциала

(9.4)

где электрический потенциал, аналогичны. В безразмерной форме эти уравнения будут тождественны.

Если созданы граничные условия для потенциала, аналогичные условиям для температуры, то в безразмерной форме они будут также тождественны.

Электротепловая аналогия широко используется при изучении процессов теплопроводности. Например, температурные поля лопаток газовых турбинин были измерены этим методом.

Анализ размерностей

Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения - эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса

Анализ размерностей - это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.

Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m, время t, количество теплоты Q избыточную температуру . Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи температуропроводность a и т. п.

Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид

(9.5)

где Q –количество теплоты.

Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.

Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.

Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.

Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела , (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м³), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м² К)), время периода , (с), характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида

(9.6)

Показатель степени при первичной величине называется раз мерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.

Заменим в физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим

(9.7)

В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.

Приравняем нулю показатели степеней одночлена:

для длины

a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)

для количества теплоты Q

0; (9.9)

для времени

= 0; (9.10)

для температуры

0; (9.11)

для массы m

0. (9.12)

Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и kмогут быть выбраны произвольно.

Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим:

из (8.8), (8.9), (8.12)

(9.13)

из (8.9)

f = -b - k; (9.14)

из(3)

r=b + k; (9.15)

из (8.11) и (8.9)

n = b + f + k = b + (-b – k) + k = 0; (9.16)

из (8.12) и (8.9)

i = f = -b -k. (9.17)

Теперь одночлен можно представить в форме

(9.18)

Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:

1. при этом запишем

(9.19)

откуда

(9.20)

обозначим

2. b = 0, k = 1, при этом запишем

(9.21)

обозначим

(9.22)

Найдем отношение

(9.23)

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био ю

Введем безразмерные – искомую переменную и независимую переменную (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме

. (9.24)

Правильность полученного результата подтверждает так называемая теорема Бэкингема, которая формируется так: число безразмерных комплексов равно числу физических величин, существенных для процесса, минус число первичных величин.