Обтекание тел при малых возмущениях

Если плоский равномерный поток газа подвергается малым возмущениям , то при направлении оси вдоль вектора можно записать

(12.81)

где проекции скорости возмущенного движения.

Если пренебречь квадратами и произведениями этих величин, то в линейном приближении

(12.82)

(12.83)

(12.84)

(12.85)

где коэффициент давления.

Составляющая скорости возмущения определяется через потенциал малого возмущения

(12.86)

причем

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет уравнению

(12.87)

Рис.12.6. Распространение малых возмущений в дозвуковом (а), звуковом (б) и сверхзвуковом (в) потоках газа

Если в равномерном потоке газа точка А (рис.12.6) является источником малых возмущений (малых изменений плотности и давления), то эти возмущения в виде слабой волны распространяются в потоке. В зависимости от скорости потока фронты волн возмущения могут занимать одно из положений, показанных на рис.12.6. В дозвуковом течении (рис.12.6, а) фронты волн возмущения представляют собой окружности радиусом , смещаемые вниз по течению на расстояние , где время с момента возникновения возмущения.

При сверхзвуковой скорости потока газа волны возмущений также имеют вид окружностей, но в силу условия и область их распространения ограничивается прямыми AM и AN для осесиммет-ричного потока - поверхностью конуса, называемыми линиями возмущения или линиями Маха. Эти прямые образуют с вектором скорости угол Маха, определяемый формулой

(12.88)

Течение при дозвуковых скоростях. При замена переменных приводит уравнение для потенциала скорости к уравнению Лапласа т.е. к уравнению, которому удовлетворяет потенциал скорости несжимаемой жидкости. Поэтому при обтекании дозвуковым потоком газа тонкого профиля с малым углом атаки задача приводится к задаче обтекания профиля несжимаемой жидкостью. Формулы пересчета согласно теории Прандтля - Глауэрта имеют вид:

для коэффициента давления

(12.89)

для коэффициента подъемной силы

(12.90)

где индексом «н» отмечены параметры потока несжимаемой жидкости.

Течение при сверхзвуковых скоростях. Линеаризованное уравнение потенциала скорости заменой переменных

приводится к уравнению гиперболического типа

(12.91)

имеющему общее решение в переменных

(12.92)

где произвольные функции.

Два семейства прямых, описываемых уравнениями

const (12.93)

являются характеристиками уравнения; они совпадают с линиями возмущения линеаризованного потока.

Сверхзвуковое обтекание малого угла, образованного плоскими стенками (рис.12.7). При таком течении из вершины угла выходит характеристика первого семейства, которая делит область течения на две части: невозмущенную и возмущенную. При обтекании выпуклого угла (рис.12.7, а) поток ускоряется, а при обтекании вогнутого - замедляется (рис.12.7, б).

Рис.12.7. Схемы обтекания сверхзвуковым потоком малого угла:

а - ускорение потока; б - торможение потока

Рис.12.8. Расчетная схема обтекания тонкого профиля

линеаризованным сверхзвуковым потоком газа

Обтекание тонкого профиля с заостренными кромками. Задача может быть приближенно решена на основе линеаризованной теории. При этом плавный контур профиля заменяют ломаным (рис.12.8) и последовательно решают задачу об изменении параметров потока при переходе через каждую линию возмущения, выходящую из точек излома. В результате получают следующие формулы для коэффициента давления:

для верхней поверхности, заданной уравнением