Теоретическая схема и математический аппарат

В языке теории теоретическая схема может быть охарактеризована по меньшей мере в двух типах высказываний. Ими могут быть содержательные описания типа уже рассмотренных выше утверждений: “материальная точка перемещается по континууму точек пространственно-временнóй системы отсчета”, “сила меняет состояние движения материальной точки” и т. д. Посредством таких высказываний описываются связи и отношения абстрактных объектов, образующих теоретическую схему. Но эти же связи могут быть выражены и в форме математических зависимостей. Последнее достигается благодаря отображению абстрактных объектов теоретической схемы на объекты математики. Например, система отсчета может быть связана с системой координат (инерциальная система отсчета механики может быть в определенных пределах отождествлена с системой прямоугольных, сферических или цилиндрических координат в эвклидовом пространстве). Вследствие этого она предстает как континуум пространственных и временных точек, каждой из которых может быть поставлено в соответствие определенное число (или набор чисел). Далее, материальная точка в классической механике может быть охарактеризована некоторой постоянной величиной, которая обозначает ее массу. Положение материальной точки в системе отсчета может быть описано при помощи пространственных и временнóй координат, а изменение указанных координат может быть рассмотрено как характеристика движения материальной точки. Наконец, сила может быть представлена как некоторый вектор.

Благодаря такому отображению абстрактных объектов теоретических схем физики на объекты математики, корреляции между элементами теоретических схем можно выразить в виде набора некоторых формул. Например, можно выразить отношения между силой, пространственно-временнóй системой отсчета и материальной точкой в виде математической формулировки законов Ньютона.

Признаки абстрактных объектов при переходе к такому описанию фиксируются в форме физических величин, а связи указанных признаков — в виде связей величин в уравнениях. Поскольку теоретическая схема может быть представлена как идеализированный образ изучаемых в теории природных процессов, постольку физические величины и их связи в уравнениях должны выражать некоторые эмпирически констатируемые характеристики таких процессов. Уравнения выступают в этом случае как выражение существенных связей между физическими явлениями и служат формулировкой физических законов.

Уравнения и абстрактные объекты теоретической схемы можно рассматривать как относительно самостоятельные компоненты теоретического знания. Такой подход оправдан, по меньшей мере, двумя обстоятельствами. Во-первых, одни и те же уравнения могут быть связаны с различными теоретическими схемами и, если последние обоснованы как отображение соответствующих фрагментов физической реальности, могут предстать как описание различных физических взаимодействий (хрестоматийными примерами здесь могут служить использование уравнений колебания для теоретического описания и механических, и электромагнитных колебаний, применение Максвеллом уравнений гидродинамики к описанию электромагнитных взаимодействий и т. д.). Во-вторых, теоретическая схема, если зафиксировать ее в языке содержательного описания, может существовать относительно независимо от уравнений. Так, описывая фундаментальную теоретическую схему механики (движение материальной точки в пространстве системы отсчета под действием силы), можно ввести абстрактную модель реальных механических движений, не прибегая к уравнениям. Опираясь на эту модель, можно получить и качественную характеристику законов механики (например, в “Математических началах натуральной философии” Ньютона три основных закона механики излагались вначале без применения формул, в качественном виде).

Однако, подчеркивая некоторую самостоятельность уравнений и фундаментальных теоретических схем, нельзя упускать из виду, что эта самостоятельность относительна и что указанные компоненты теоретического знания тесно связаны между собой. С одной стороны, вне связи с теоретической схемой уравнения являются только математическими формулами, но не выражениями для физических законов. Иначе говоря, уравнения не имеют физической интерпретации. Такую интерпретацию обеспечивает теоретическая схема, предварительно обоснованная в качестве идеализированной модели некоторой реальной области взаимодействий. С другой стороны, вне связи с уравнениями теоретическая схема дает бедное и абстрактное представление об изучаемой реальности. Богатство связей и отношений ее абстрактных объектов, посредством которых в теоретическом знании характеризуются процессы природы, выявляется благодаря уравнениям. Последние как бы развертывают содержание теоретической схемы наиболее простым способом и в наиболее полной форме. Но самое главное во взаимодействии уравнений и теоретических схем заключается в том, что математические средства активно участвуют в самом создании абстрактных объектов теоретической схемы, определяют их признаки. Даже тогда, когда исследователь прибегает к содержательному описанию теоретических схем, он неявно пользуется математическими представлениями. Он может говорить, например, о перемещении материальной точки в пространстве инерциальной системы отсчета с течением времени, но при этом заранее предполагает, что пространство обладает свойствами эвклидового пространства, а время — свойствами “квазиэвклидового времени” (равномерное протекание времени во всех системах отсчета)[10]. Характеризуя состояние движения материальной точки (точечной массы), которое определяется через ее координаты и скорость, исследователь заранее допускает, что система отсчета представляет систему координат и поэтому отношение к ней материальной точки может быть выражено координатами и определенными функциями от координат по времени.

Таким образом, исходные признаки абстрактных объектов фундаментальной теоретической схемы всегда несут следы воздействия математической структуры, применяемой в теории. Они вводятся так, чтобы обеспечить при теоретическом описании процессов природы использование определенных математических формализмов. В этом выражается тесная взаимосвязь между применяемыми в теории математическими средствами и исходными признаками и отношениями абстрактных объектов, образующих фундаментальную теоретическую схему. Такая взаимосвязь позволяет говорить о своеобразном двухслойном каркасе, который образует основание физической теории: первый слой составляет математический формализм, второй — фундаментальная теоретическая схема. Оба эти слоя всегда взаимообусловлены. В узком смысле такая взаимообусловленность выражается в том, что основные уравнения теории, соответствующие математической формулировке ее основных законов, выступают как своеобразная запись основных отношений между признаками абстрактных объектов теоретической схемы. Наделив такие объекты новыми признаками, придется изменить уравнения, и наоборот. В широком смысле взаимообусловленность указанных слоев выражается в связи между типом математической структуры, применяемой для описания некоторой области физических процессов, и способом представления таких процессов в фундаментальной теоретической схеме. Этот аспект взаимосвязи теоретической схемы с математическими средствами описания физических процессов лучше всего пояснить, обращаясь к историческим примерам.

Так, когда Ньютон начал создавать теоретическую схему механических процессов, в которой движущиеся тела были представлены как материальные точки, изменяющие свои координаты и импульсы в пространственно-временнóй точке под действием силы, то эта модель механического движения потребовала создания особого математического аппарата.

В доньютоновский период для описания механических процессов применялась эвклидова геометрия в соединении с обычной алгеброй. Механика удовлетворялась этим аппаратом постольку, поскольку изображала реальные объемные тела в виде идеальных геометрических тел и, рассматривая их движения, не ставила задачи описать изменение в точке количества движения (импульса) тела, а следовательно, изменение в точке его скорости.

Ньютон, приступив к решению этой задачи, был вынужден описывать движение тела и изменение его состояния в бесконечно малых областях пространства-времени. В частности, для выяснения закономерностей изменения скорости в точке под действием приложенной силы пришлось перейти к рассмотрению стягивающегося в точку приращения пути к стягивающемуся в точку промежутку времени, что трансформировало старый аппарат механики (эвклидову геометрию) в новый аппарат, который явился первой формой дифференциального и интегрального исчисления.

Таким образом, переход к новой теоретической схеме механического движения потребовал новых математических структур, для описания такого движения (после развития дифференциального исчисления Ньютоном, и в особенности после работ Лейбница, этот аппарат превратился в основное средство математического описания механических процессов).

Рассмотренный пример иллюстрирует изменение математического аппарата под влиянием новой содержательно-физической модели изучаемых процессов. Но существует и другой путь, в известном смысле обратный только что рассмотренному, когда математические средства, привлекаемые в сложившуюся теорию для решения тех или иных ее задач, вызывают перестройку фундаментальной теоретической схемы. Так, например, была перестроена механика Ньютона под влиянием аппарата дифференциальных уравнений, развитого в математике XVIII века и с успехом использованного для решения теоретических задач механики в ее приложении к широкому кругу явлений (включая математическое описание механических систем с большим числом степеней свободы). Для того чтобы обеспечить эффективное применение методов анализа при рассмотрении любых механических явлений, Лагранж, а затем Гамильтон и Якоби ввели новые фундаментальные теоретические схемы механики, эквивалентные ньютоновской (в смысле их способности представлять объективную структуру механического движения в форме идеализированной модели). Лагранж, например, предложил описывать состояние движения материальной точки не как изменение ее координат и скоростей в трехмерном эвклидовом пространстве, а как изменение обобщенных координат и обобщенных скоростей в пространстве конфигураций.

Такого рода перестройка уже сложившейся теоретической схемы под влиянием нового математического аппарата типична для развития физики. В квантовой механике, например, вначале возникли две эквивалентные теории квантовых процессов — волновая механика Шредингера и матричная механика Гейзенберга, каждая из которых имела свой математический аппарат и соответственно свою теоретическую схему.

Последующее развитие квантовой механики привело к синтезу этих двух форм теоретического описания в рамках нового описания, которое основывалось на использовании аппарата бесконечномерного гильбертова пространства. Переход к этому аппарату потребовал создать и новую фундаментальную теоретическую схему. В частности, волновая функция в трехмерном пространстве, которая фигурировала в теоретической схеме волновой механики, стала рассматриваться как вектор состояния квантовой системы, но в гильбертовом пространстве. Его корреляции к вектору состояния прибора позволили отобразить в квантовомеханическом описании глубинные характеристики квантовых процессов. По отношению к новой теоретической схеме прежние представления Шредингера и Гейзенберга выступали как “недостаточно совершенные” теоретические модели квантовых процессов. Новая теоретическая схема синтезировала обе эти модели и позволила описать и объяснить широкий круг явлений в атомной области.

Таким образом, под влиянием новых математических структур, вводимых в теорию, происходит определенное обобщение теоретической схемы. Такое обобщение, с одной стороны, обеспечивает наиболее эффективное описание и объяснение новых фактов, с другой — подготавливает базу для перехода к освоению в теоретическом познании новых типов физических объектов. Развивая математический аппарат и насыщая его новым физическим содержанием, познание как бы подготавливает средства для своего будущего развития. Так, разработка механики Лагранжа и Гамильтона послужила необходимой базой для последующей успешной разработки электродинамики и квантовой механики, а фейнмановская формулировка квантовой механики была предварительным и необходимым шагом для новейшего развития квантовой электродинамики (аппарат интегралов по траекториям, развитый Фейнманом, послужил не только эффективным средством решения квантовомеханических задач в нерелятивистской области, но и способствовал построению релятивистски-инвариантной теории взаимодействий квантованного электромагнитного и квантованного электронно-позитронного полей с учетом высших приближений теории возмущений).

Таким образом, взаимодействие применяемого в теории математического формализма и фундаментальной теоретической схемы является не только нормой функционирования теории, но и условием самого развития теоретических знаний.

Активное обратное воздействие математического аппарата на фундаментальную теоретическую схему приводит к тому, что ее элементы (абстрактные объекты) на высших стадиях развития теории предстают в качестве своеобразных эквивалентов абстрактных объектов математики. Набор признаков, по которым введен каждый абстрактный объект теоретической схемы, фиксируется в форме некоторого математического образа, “наполненного физическим смыслом”. Часть таких образов может иметь наглядные аналоги в предметном мире, с которым имеет дело человек в своей реальной практической деятельности (например, материальная точка классической механики легко может быть сопоставлена с реальными макроскопическими телами, с которыми человек на каждом шагу оперирует в практике). Но большая часть из них может не иметь подобных аналогов. Таковыми являются, например, теоретические конструкты типа вектора состояния в гильбертовом пространстве (теоретическая характеристика микрообъекта в квантовой механике), вектора электрического и магнитного поля в пространственно-временнóй точке, взаимодействующего с вектором плотности заряда-тока в точке (теоретическая характеристика электромагнитных взаимодействий в классической электродинамике). В этом случае признаки абстрактных объектов уже не имеют аналога в виде отдельно взятой вещи, выделенной из природы практической деятельностью. Основной формой предметности, которая объединяет и закрепляет эти признаки, является математический образ.

Математическая форма выражения абстрактных объектов позволяет ввести посредством их корреляций обобщенную модель исследуемой реальности даже тогда, когда научное познание начинает изучать непривычные, с точки зрения обыденного здравого смысла, виды материальных взаимодействий. В этом случае часто оказывается невозможным представить каждый абстрактный объект теоретической схемы как аналог предметов, с которыми оперируют в практике. Абстрактные объекты выступают как сложные замещения отношений таких предметов. Но математическая форма позволяет выразить эти отношения в качестве особого идеального объекта, который становится элементом более сложной структуры — теоретической схемы, представляющей в познании исследуемую реальность.

Итак, анализ строения теории требует выделить в качестве ее основания особую организацию абстрактных объектов — фундаментальную теоретическую схему, связанную с соответствующим ей математическим формализмом.

Будучи идеальной моделью исследуемых в теории процессов, теоретическая схема обеспечивает интерпретацию математического аппарата теории и служит своеобразным посредником между ним и экспериментально фиксируемыми свойствами и отношениями физических объектов.

В отличие от формализованных теорий математики, где теорию (исчисление) отделяют от моделей, интерпретирующих исчисление (теория имеет поле интерпретаций), в физике модели, которые определяют физический смысл уравнений, входят в содержание теорий.

Мы назвали такие модели теоретическими схемами для того, чтобы отличить их от других типов моделей, которые применяются в теоретическом исследовании. Некоторые из них служат средством построения теории, но не включаются в ее состав. Теоретические же схемы всегда включены в теорию в качестве важнейшего компонента ее содержания.

Вместе с уравнениями фундаментальная теоретическая схема образует основание физической теории, опираясь на которое исследователь может получать все новые характеристики исследуемой реальности, не обращаясь каждый раз к ее экспериментальному изучению. Такие характеристики можно получить в результате дедуктивного развертывания теории, выявляя новые знаки абстрактных объектов теоретической схемы на базе исходных признаков.

Дедуктивное развертывание теории осуществляется как вывод из основных постулатов и определений теории их следствий. Методы такого вывода могут быть самыми различными. К ним относятся и формально-логические приемы дедуктивного выведения из одних высказываний других, и приемы решения уравнений, и, наконец, мысленные эксперименты с объектами теоретической схемы. Например, используя математический аппарат механики и опираясь на мысленное рассмотрение связей между объектами ее фундаментальной теоретической схемы, можно получить на основе главных признаков указанных объектов новые их признаки, такие как свойство сил совершать работу, свойство материальной точки обладать потенциальной и кинетической энергией и т. п. Эти признаки материальных точек и сил выступают как особые характеристики механического движения. В процессе развертывания теории такие признаки фиксируются в форме понятий, а их связи выражаются в форме соответствующих теоретических высказываний. В математическом аппарате они выступают как новые физические величины, находящиеся в связи с другими величинами.

На первый взгляд кажется, что достаточно иметь набор абстрактных объектов, образующих фундаментальную теоретическую схему, чтобы строить относительно них все новые высказывания и развертывать теорию, не вводя новых абстрактных объектов. Однако в реальном развертывании теории новые признаки объектов фундаментальной теоретической схемы нередко превращаются в самостоятельные абстрактные объекты. Например, при движении в математическом аппарате оперируют указанными признаками как самостоятельными образованиями, представив их в виде соответствующих физических величин, и лишь при интерпретации полученных результатов физические величины рассматривают как характеристику признаков объектов фундаментальной теоретической схемы. Но такая интерпретация — не единственно возможный способ экспликации теоретического смысла физических величин. Нередко в целях успешного развертывания теории важно представить физическую величину в качестве термина, фиксирующего особый абстрактный объект, который существует наряду с фундаментальными абстрактными объектами теории и с которым можно оперировать точно так же, как оперировал исследователь с фундаментальными объектами теоретической схемы. В таком случае теоретическое понятие превращается в соответствующий ему абстрактный объект. Например, в механике, получив в процессе анализа фундаментальной теоретической схемы такой признак материальной точки, как способность обладать энергией, и зафиксировав этот признак в понятии “энергия”, можно затем образовать особый теоретический конструкт “энергия”, который представляет собой результат абстрагирования соответствующего признака материальных точек. С этим конструктом можно осуществлять мысленные эксперименты, рассматривая процессы обмена энергией между механическими системами, превращения энергии одного вида в другой и т. д. Содержательный анализ таких ситуаций и применение к ним средств математического описания позволяет получать новые характеристики движения тел.

Развертывание теории всегда представляет собой создание на базе фундаментальных признаков и отношений абстрактных объектов теоретической схемы, новых абстрактных объектов, признаки и корреляции которых фиксируются в системе соответствующих высказываний. Тогда можно представить, что в сети взаимосвязанных теоретических конструктов, образующих содержание теории, выделена основная подсистема (фундаментальная теоретическая схема), а остальные конструкты формируются вокруг нее, по мере развертывания теории. Однако более детальный анализ показывает, что такое представление о содержательной структуре теории нуждается в дальнейшем уточнении и конкретизации.

“Дочерние” (по отношению к фундаментальным) теоретические конструкты тоже организованы в особые подсистемы, как и конструкты, образующие фундаментальную теоретическую схему. Такие подсистемы могут быть независимы друг от друга и подчинены только фундаментальной теоретической схеме. Каждая такая подсистема характеризуется своей относительно выделенной в теории совокупностью высказываний и понятий, образующих особый раздел теории. Так, в механике отчетливо выступают несколько относительно независимых разделов: механика малых колебаний точки, движения в поле центральных сил, вращения твердого тела и т. д. Каждый из таких разделов образован системой высказываний, вводящих некоторую совокупность своих, специфических абстрактных объектов (например, “период колебания” и “амплитуда” в механике малых колебаний или “относительный вращающий момент”, “мгновенная ось вращения”, “главный момент инерции” в механике твердого тела). Среди этих совокупностей, в свою очередь, можно выделить системы основных абстрактных объектов и производные от них. Так, в теории малых колебаний “материальная точка”, “квазиупругая сила” и “система отсчета” (например, фиксированная прямая, позволяющая регистрировать отклонения точки от положения равновесия) выступают в качестве системы объектов, имеющих независимый статус (в рамках данного раздела механики). Они вводятся относительно независимо от других абстрактных объектов теории колебания, тогда как, например, “период колебания” уже выступает как теоретический конструкт, оправданный только в силу корреляций вышеперечисленных объектов.

На этом основании их можно выделить в качестве фундамента механической теории малых колебаний. Показательно, что при изложении данного раздела ньютоновской механики обязательно фиксируется особый статус корреляций “материальной точки”, “квазиупругой силы” и “системы отсчета”. Они образуют теоретическую модель малых механических колебаний, которую именуют линейным гармоническим осциллятором и связывают с основным уравнением колебания.

Модель механических колебаний (осциллятор) вводится внутри механики относительно независимо от других, подобных ей систем абстрактных объектов. Но она зависит от фундаментальной теоретической схемы механики. По отношению к ней осциллятор выступает как своего рода частный случай[11].

Нетрудно убедиться, что, опираясь на фундаментальную теоретическую схему механики, можно построить не только осциллятор, но и другие подобные ему системы абстрактных объектов, например, образовать модель абсолютно твердого тела, жестко связывая материальные точки силами реакции, построить модель упругого соударения тел и т. д.

В результате можно сделать вывод, что в содержании развитой теории, кроме ее фундаментальной схемы, можно выделить еще один слой организации абстрактных объектов — уровень частных теоретических схем. Последние конкретизируют фундаментальную теоретическую схему применительно к ситуациям различных теоретических задач и обеспечивают переход от анализа общих характеристик исследуемой реальности и ее фундаментальных законов к рассмотрению отдельных конкретных типов взаимодействия, в которых в специфической форме проявляются указанные законы.

Таким образом, при рассмотрении научной теории в аспекте внутренних смысловых связей ее терминов и высказываний обнаруживается сложная организация содержания теоретических знаний. В теории нет линейной цепочки абстрактных объектов, последовательно конструируемых один из другого (как это представлено у Г. Маргенау). Скорее, следует говорить о некоторых узловых системах таких объектов, вокруг которых формируются непосредственно относящиеся к ним “дочерние” конструкты. Своеобразным каркасом, сцепляющим все эти элементы в единую организацию, служат фундаментальная теоретическая схема и частные теоретические схемы, которые формируются на основе фундаментальной и вместе с ней включаются в состав научной теории. Содержательная структура развитой теории характеризуется тем, что входящие в теорию конструкты организованы не как простая, а как сложная система, включающая относительно самостоятельные подсистемы, которые связаны между собой по принципу уровневой иерархии (подсистемы низшего уровня координированы друг с другом и в то же время подчинены подсистемам высшего уровня).