Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема
Постановка задачи:
Известны:
1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора
{si(t)}m; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).
2. Непрерывный канал
,
где N(t) – квазибелый нормальный шум, т. е.
.
3. Алгоритм работы демодулятора (оптимального когерентного по критерию максимального правдоподобия) (6.13)
.
ОпределитьР - среднюю вероятность ошибочного приема.
Ограничимся случаем двоичной системы (m = 2), когда
.
Перепишем алгоритм (6.13) в развернутом виде
,
или
.
Из иной записи того же алгоритма
вытекает достаточность одной ветви в оптимальном демодуляторе, которая должна содержать либо коррелятор с опорным генератором разностного сигнала, либо согласованный с этим разностным сигналом фильтр (рис. 6.25). В этих демодуляторах в качестве решающих устройств используются компараторы со стробированием. Компаратор представляет собой дифференциальный усилитель с цифровым выходом и коэффициентом усиления К ® ¥. Напряжение на выходе компаратора может принимать одно из двух значений: высокое (уровень логической «1»), если напряжение на его прямом входе больше, чем на инверсном, и низкое (уровень логического «0») в противном случае. В данном случае производится сравнение выходного напряжения коррелятора или СФ с пороговым в моменты kT поступления коротких стробирующих импульсов. Символом «= =» в УГО компаратора обозначена операция сравнения, а кружком – инверсный вход.
Для решения поставленной задачи рассмотрим случайную величину YD(T) – отсчеты реакции СФ в конце каждого сигнала на входной СП Z(t) = si(t) + N(t). Очевидно, что YD(T) имеет нормальное распределение с двумя возможными математическими ожиданиями :
y0 – при передаче сообщения b0,
y1 – при передаче сообщения b1.
, .
Условные распределения величины YD(T) показаны на рис. 6.26
В двоичных системах имеют место ошибки двух типов. Определим их вероятности
, .
Средняя вероятность ошибочного приема
.
При равных вероятностях передаваемых сообщений
.
Минимизация Р означает минимизацию суммы S0 + S1, что достигается при выборе оптимального порога λопт, определяемого из условия (рис. 6.26)
.
При таком выборе порога
и, следовательно, для вычисления средней вероятности ошибочного приема Р достаточно определить любую условную вероятность ошибок, например,
.
Произведя замену переменных
,
получим
, (6.18)
где Q(νопт) – дополнительная функция ошибок,
F(νопт) – функция ошибок,
Ф(νопт) – функция Крампа.
Все эти функции табулированы, их можно найти в математических справочниках.
Полученный результат свидетельствует, что для любой двоичной системы при когерентном приеме вероятность ошибок определяется исключительно величиной νопт, на которой сосредоточим свое внимание. Из рассмотренного вытекает
,
где – математическое ожидание отклика фильтра, согла-
сованного с разностным сигналом sЭ(t) = s1(t) – s0(t),
на «свой» сигнал в момент t = T,
σ – квадратный корень из дисперсии этого отклика.
Используя ранее вычисленное значение отношения с/ш на выходе согласованного фильтра (6.17), получаем
, (6.18)
где ЕЭ – энергия разностного (эквивалентного) сигнала sэ(t),
NO – спектральная плотность мощности шума,
.
Учитывая геометрический смысл энергии сигнала , выражение (6.18) можно переписать в виде
.
Выводы
1. Помехоустойчивость когерентного приема в двоичных системах определяется исключительно соотношением энергии ЕЭ разностного сигнала (расстоянием между сигналами) и спектральной плотности мощности NO нормального белого шума
. (6.19)
2. Средняя вероятность ошибочного приема для этого случая вычисляется с помощью дополнительной функции ошибок по формуле
(6.20)
Дата добавления: 2016-04-02; просмотров: 956;