Сокращенное описание случайных процессов
Полное описание СП не всегда возможно, да и не всегда требуется. Во многих случаях достаточно знать основные его характеристики. В качестве таковых широко используют:
1. Математическое ожидание СП – начальный момент первого порядка
2. ДисперсияСП – центральный момент второго порядка
Здесь использовано понятие центрированного СП .
3. В общем случае можно использовать моменты k-го порядка:
Начальные
,
Центральные
.
Нетрудно видеть, что моменты полностью определяются одномерным распределением и в общем случае произвольного СП являются детерминированными функциями времени. Для стационарных в узком смысле СП моменты от времени не зависят.
1. Корреляционная (автокорреляционная) функция – центральный смешанный момент второго порядка
.
Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если выполняются следующие условия:
,
,
, где τ = t2 – t1
Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его стационарность в широком смысле, но не наоборот.
Некоторые свойства корреляционной функции СП:
1.
2.
Доказательство:
,
откуда следует вышеуказанное неравенство
3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь сечений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями и нет (сечения статистически независимы), то .
Доказательство:
.
Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот. Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гауссовского) процесса.
Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид
,
где , ,
а любая n-мерная плотность вероятности описывается выражением
,
где An, cij, ai, aj – константы, определяемые выбором сечений t1,t2,,,tn.
4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной .
Доказательство:
.
Подставляя , получим
.
5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреляции (коэффициентом корреляции)
.
Очевидно, что .
6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника
.
7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X(t) и Y(t)
.
8. Корреляционная функция суммы независимых случайных процессов есть сумма корреляционных функций каждого из слагаемых СП в отдельности
Доказательство:
.
Вместо усреднения по множеству реализаций случайного процесса можно ввести его усреднение по времени, определяя:
- постоянную составляющуюСП,
- переменную составляющуюСП,
- мощность переменной состав-
ляющейСП.
Нетрудно видеть, что эти характеристики являются случайными величинами, не зависящими от времени.
Случайные стационарные процессы называют эргодическими, если их усреднение по множеству и по времени приводит к одинаковым результатам:
|
из которого вытекает схема коррелометра, приведенная на рис. 4.2.
Дата добавления: 2016-04-02; просмотров: 847;