Дискретизация и восстановление сигналов

Под дискретизацией сигналов (в узком смысле) понимают преобразование аналогового сигнала x(t) в последовательность отсчётов его мгновенных значений, взятых через интервалы времени Dt (рис. 2.5)

, k = 0, ±1, ±2,…,

Dt – шаг дискретизации,

– частота дискретизации.

Для аналитического описания процесса дис-кретизации используем решётчатую функцию (рис. 2.5, в) вида ,

где .

Функция связана с функцией 1(t) (единичного скачка) и d-функцией следующим образом

. (2.8)

Введение функции позволяет процесс дискретизации аналогового сигнала x(t) выразить произведением вида (рис. 2.5, б)

.

Как и d-функция обладает фильтрующим свойством

.

Поскольку периодическая функция с периодом Dt, то её можно представить рядом Фурье

, где

(фильтрующее свойство!)

и, следовательно, .

Учитывая свойство спектральной функции комплексного гармонического колебания (2.6) и выражение (2.8), имеем

.

Исходя из очевидных соотношений , получим

. (2.9)

Окончательно

(2.10)

и по свойству смещения спектра (2.7)

.

Из (2.10) вытекает, что процесс дискретизации сигналов можно реализовать на перемножителе (рис.2.6).

Дискретизация сигналов широко используется в системах связи. Она является необходимой операцией при передаче аналоговых сигналов по цифровым каналам (для преобразования аналогового сигнала в цифровой поток его отсчётов) и в системах многоканальной передачи с временным уплотнением (для разделения заданного множества аналоговых сигналов во временной области). Во всех этих случаях важнейшими являются вопросы о выборе частоты дискретизации сигналов, способе их восстановления (обратного преобразования отсчётов в аналоговый сигнал) и степени искажений в процессе таких преобразований. Ответы на эти вопросы даёт теорема отсчётов (часто называемая именем Котельникова В.А. – автора одного из её доказательств в 1933 г.).

Теорема отсчётов

Любой F-финитный сигнал (сигнал с ограниченным частотой F_в спектром) точно определяется последовательностью своих отсчётов, взятых через интервалы .

Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения спектров, приведённых на рис. 2.7. На рис. 2.7(а) изображён двусторонний спектр исходного аналогового сигнала , ограниченный частотой . На рис. 2.7(б) –спектр решетчатой функции , построенный по выражению (2.9). На рис. 2.7 (в, г и д) представлены спектры дискретизированного сигнала при разных соотношениях частот дискретизации и . Обратите внимание, что в результате дискретизации сигнала его спектр периодически повторяется по оси частот с периодом .

Исходя из свойства взаимно однозначного соответствия временного и спектрального представлений сигнала, можно утверждать, что точное восстановление сигнала в аналоговой форме по его отсчётам возможно, если из спектров (рис.2.7 (в, г и д)) можно получить спектр (рис. 2.7 (а)). Очевидно, что это достижимо:

1) фильтрацией дискретизированного сигнала с помощью идеального ФНЧ с частотой верхнего среза ,

2) только в случае , когда отсутствует наложение спектров, такое, как показано на рис. 2.7 (д).

Таким образом, процедура восстановления сигнала по

отсчётам может быть осуществлена идеальным ФНЧ с передаточной функцией

,

и, соответственно, с импульсной характеристикой

.

Поскольку импульсная характеристика цепи есть её реакция на воздействие в виде d-функции , то легко определить реакцию идеального ФНЧ на дискретизированный сигнал

Выражение известно в литературе как ряд Котельникова (с масштабным коэффициентом с) и представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье, где базисом является система функций , а коэффициентами разложения служат отсчёты мгновенных значений сигнала.

На практике абсолютно точное восстановление сигналов по их отсчётам невозможно по следующим причинам:

1) Идеальный ФНЧ–физически нереализуемая цепь, т.к. его импульсная характеристика отлична от 0 при t<0. Характеристики реальных ФНЧ могут быть приближены к идеальным лишь с определенной погрешностью, тем меньшей, чем больше задержка.

2) Реальные сигналы являются Т-финитными, а следовательно имеют неограниченный по частоте спектр. Если всё же спектр сигнала ограничить частотой , то на интервале существования сигнала Т число независимых отсчётов N, определяющих сигнал с заданной погрешностью, становится конечным

,

где – база сигнала.

При осуществлении дискретизации сигнала, когда частота дискретизации выбрана, необходимо использовать антиэлайсинговыйФНЧ с частотой верхнего среза для ограничения спектра сигнала и предотвращения тем самым искажений, вызванных перекрытием спектров (рис.2.4 (д)) (антиэлайсинговый – от слова «элайсинг», означающего наложение спектров).

Контрольные вопросы

1. В чём заключается операция дискретизации непрерывных сигналов? Как её записать математически?

2. Как изменяется спектр сигнала в результате его дискретизации?

3. Приведите примеры практического использования дискретизации сигналов в системах связи.

4. Сформулируйте теорему отсчётов. В чём состоит её фундаментальное значение?

5. Из каких соображений выбирается частота дискретизации непрерывных сигналов?

6. Каким образом и каким ФУ обеспечивается восстановление непрерывного сигнала по его отсчётам?

7. Укажите причины погрешностей восстановления непрерывных сигналов по их отсчётам.

8. Напишите выражение сигнала в виде ряда Котельникова.

9. Какой базис используется при разложении сигналов в ряд Котельникова?

10. Как определяются коэффициенты разложения сигналов в ряд Котельникова?

11. Объясните необходимость использования антиэлайсингового фильтра при дискретизации сигналов.

12. Приведите примеры проявления искажений, связанных с наложением спектров сигнала после его дискретизации (при ).