Приложение 1. Минимальная логика целого

Для выражения логики целого, рассмотрим некоторое отношение порядка А £ В – «А меньше или равно В».

Введем равенство

(Е) А = В º А £ В Ù В £ А - А равно В

Отношение £ является отношением нестрогого порядка на некотором множестве К, т.е. для этого отношения выполнены свойства:

1. А £ А – рефлексивность для всех элементов К

2. А £ В и В £ А влечет А = В - антисимметричность

3. А £ В и В £ С влечет А £ С – транзитивность

Примем также следующие определения:

(N) Nul(A) º А £ А Ù "B(B £ B É A £ B) – A есть нулевое начало

(I) Inf(A) º А £ А Ù "B(B £ B É B £ A) – А есть бесконечное начало

(Int) Int(A) º А £ А Ù ùNul(A) Ù ùInf(A) - А есть внутреннее начало

(Р) Рos(А) º А £ А Ù $В(В £ А Ù ù(А £ В)) – А есть положительное (ненулевое) начало

(Lev) Lev(A) º Рos(А) Ú Nul(A) – А есть уровневое начало

(At) At(A) º Рos(А) Ù "B(В £ А Ù Рos(B) É А £ В) – А есть атом

Далее для отношения А £ В введем две версии подобных отношений А £¹ В – «А 1-меньше или равно В», и А £² В – «А 2-меньше или равно В».

Для отношений £¹ и £² могут быть определены все те предикаты, что и для отношения £, но только с индексом 1 или 2. Например:

(Е¹) А =¹ В º А £¹ В Ù В £¹ А - А 1-равно В

(N²) Nul²(A) º А £² А Ù "B(B £² B É A £² B) – A есть 2-нулевое начало

(At²) At²(A) º Рos²(А) Ù "B(В £² А Ù Рos²(B) É А £² В) – А есть 2-атом

Примем следующие две аксиомы минимальной логики целого:

(AH1) А £ⁱ В É А £ В, где i=1,2, - i-порядки влекут общий порядок £

(AH2) "X(Рos ²(X) É $Y(Рos ¹(Y) ÙY £ X)) Ù "X"Y(Рos ²(X) Ù Рos ¹(Y) É ù(X £ Y)) – любой 2-положительный элемент включает в себя некоторый 1-положительный элемент, но ни один 1-положительный элемент не включает в себя ни одного 2-положительного элемента

При таком представлении логика целого строится как логика двухуровневого порядка – логика порядков £¹ и £², которые можно сравнивать между собой некоторым третьим – «универсальным» - порядком £. Причем, 2-порядок – это порядок более высокого уровня в смысле аксиомы (АН2), так что аксиому (АН2) в сокращенном виде можно было бы записать так:

(АН2*) £¹ Ð £² - 1-порядок меньше 2-порядка, где предикат «Ð» означает как раз то, что записано в развернутой формулировке аксиомы (АН2)

В этом смысле 2-положительные элементы больше 1-положительных элементов. 1-Уровень – это уровень элементов или частей, а 2-уровень – уровень целых.

Например, в качестве 1-уровня можно рассмотреть множество живых клеток, в качестве 2-уровня – множество многоклеточных живых организмов. Между собою клетки могут быть больше или меньше, что определяется 1-порядком £¹. В свою очередь, одни многоклеточные организмы могут быть больше или меньше других многоклеточных организмов – эти отношения определяются 2-порядком £². В то же время верно, что любой многоклеточный организм включает в себя по крайней мере одну клетку, но ни одна клетка не включает в себя ни одного многоклеточного организма.

Определим теперь понятие целого в следующем виде:

(DH) Н(Х) º Рos²(X) – целое - это 2-положительное начало,

где Н(Х) означает, что Х есть целое.

Используя эти определения и аксиомы, можно доказать Теорему Эмерджентности (ТЕ):

(ТЕ) [H(X) Ù Pos¹(Y) Ù (Y £ X)] É ù(X = Y) – если Х есть целое, и Y есть содержащееся в нем 1-положительное начало, то Y не равно Х.

Для доказательства этой теоремы, предположим противное, т.е. пусть Х=Y. Но тогда Х £ Y, что противоречит аксиоме (АН2).

Таким образом, Теорема Эмерджентности утверждает, что целое отлично от любого содержащегося в нем 1-положительного начала.

Приведем пример конкретной логики целого. Пусть Х, Y, Z … - различные множества, как конечные, так и бесконечные. Введем на этих множествах два предиката:

FinSet(X) – X есть конечное множество (в том числе пустое множество Æ)

InfSet(Х) – Х есть бесконечное множество

Определим далее порядки на множествах в следующей форме:

X £ Y º X Í Y, где «X Í Y» означает, что Х есть подмножество множества Y

X £¹ Y º X Í Y Ù FinSet(X) Ù FinSet(Y)

X £² Y º X Í Y Ù (InfSet(X) Ú Х= Æ) Ù (InfSet(Y) Ú Y= Æ)

Отсюда получаем, что 1-уровень образован в этом примере всеми конечными множествами, а 2-уровень – всеми бесконечными множествами и пустым множеством. Можно показать в этом случае выполнение аксиом логики целого (АН1) и (АН2). В качестве целых здесь выступают бесконечные множества, и свойство эмерджентности достигается именно на основе бесконечности. Таким образом, бесконечность может быть представлена как одно из эмерджентных свойств целых, построенных на множествах.