Сознательная систематизация геометрических знаний

Параллельно с рассмотренным выше процессом стихийной систематизации развертывался и второй - сознательного построения науки геометрии и обоснования таких геометрических знаний и объектов, к которым сводились все остальные. С точки зрения способа получения геометрических знаний нет никакой разницы, какие знания считать исходными, а какие из них получать. Однако, с точки зрения отдельного геометра, исходные знания существенно отличались от всех остальных. Мы полагаем, что в этот же период были осознаны следующие простые закономерности:

а) во всех группах описаний некоторые знания не получаются из других, а считаются известными;

б) в разных группах описаний известными считаются разные знания, и количество их также различно;

в) доказательств меньше по числу, и они просты и четки в тех группах описаний, где сначала получаются знания об элементах фигур (например, об углах, сторонах), затем знания о фигурах самой простой формы (например, о треугольниках и четырехугольниках) и уже затем знания о более сложных фигурах, которые раскладываются на простые.

Одновременно была выявлена и особая форма построения геометрических знаний - определения, которая частично должна была снимать вопрос о природе исходного знания. Действительно понятия "равно", "больше", "меньше", "параллельно" в определениях трактовались как свойства, характеристики, задающие определенные объекты-фигуры. Раньше говорили: "радиусы у окружности равны"; стали говорить:

"окружность - это такая фигура, у которой отрезки, падающие из центра на обод, равны".

За счет этого оборота речи возникало впечатление, что знание "радиусы у окружности равны" уже не надо было получать.

Однако не все известные знания можно выразить в форме определений. Так, например, нельзя считать, что равные треугольники - это такие фигуры, у которых равны по две стороны и углу (есть много фигур, которые не равны при соблюдении этих условий), или что прямые углы - это такие углы, которые равны (есть много равных не прямых углов). Вероятно, поэтому подобные знания не были представлены в форме определений, а были выделены в отдельную группу (аксиомы и постулаты). В эту же группу попали знания, обеспечивающие формальные переходы внутри доказательств от одних знаний к другим, и знания, на основе которых получены решения геометрических задач на построение (решения "проблем").

Проблемы осмысления знаний и выделения обоснованных принципов организации геометрических знаний, с нашей точки зрения, не могли быть решены только в языковом и операциональном планах, для их разрешения потребовалась философская рефлексия. На этом этапе, конечно, еще не сложились принципы системного научного мышления. Однако пифагорейцы и элеаты уже привели в действие ряд принципов и процедур (построение начал, сведение новых случаев к уже познанным), создающих систематизацию материала (знаний, объектов) "footnote". Концепция А. Сабо, согласно которой первоначально существовала чисто эмпирическая математика, превратившаяся в теоретическую под влиянием философии Парменида и Зенона, была подвергнута анализу и критике в работе [24][21]. Действительно, это влияние представляет собой лишь один из первых этапов сложного процесса взаимодействия философии и античной преднауки.

Позднее, когда возникла проблема истинности научных знаний, Платон углубляет принципы, намеченные пифагорейцами и элеатами, связывая познание единого с истиной, а также обсуждает, каким образом единое соотносится со многим. При этом он формулирует, по-видимому, первый в истории системный принцип научного мышления:

"Существующее единое есть, надо полагать, одновременно и единое, и многое, и целое, и части, и ограниченное, и количественно бесконечное".

Обсуждая системный характер идеального мира, построенного Платоном, П. П. Гайденко пишет:

"Он, как мы видели, показывает, что условием познания (и не только познания, но, что важно, и самого бытия) единого является его соотнесенность с другим, а другое единого есть многое. И наоборот: условием познаваемости (и существования) многого является его соотнесенность с единым...".

Платон, таким образом, ставит идеи в отношение одна другой и показывает, что только единство многого, т.е. система, составляет сущность умопостигаемого мира, и она есть то, что может существовать и быть познаваемо".

Следующий шаг в систематизации научных знаний делает Аристотель. Он формулирует в "Аналитиках" принципы организации и построения знаний, полученных в доказательстве. Из этих принципов мы укажем лишь несколько главных, повлиявших на характер и строение различных вариантов "Начал".

1. Все знания в науке разбиваются на два класса: первичные, или "Начала" (аксиомы, постулаты, определения) и "производные", полученные из "Начал" в доказательствах.

2. Логика развертывания знаний в доказательстве и, следовательно, организация научных знаний в систему определяются, с одной стороны, строением изучаемых объектов, а с другой стороны, правилами истинного рассуждения (доказательства).

3. Все объекты изучения в науках разбиваются на классы - "рода". Каждый род задает определенные начала и, следовательно, определенную систему знаний (науку). Переход в доказательстве от одного рода к другому, как правило, запрещен (см. [1, c. 195]).

"Начала" Евклида, безусловно, удовлетворяют этим принципам. С большой степенью вероятности можно считать, что при построении "Начал" эти принципы в той или иной форме были использованы, и рассматривать их как своеобразный абстрактный идеал, проект будущей системы, а доказательства, проблемы и "цепи" стихийно систематизированных геометрических знаний - как материал, в котором такой проект реализовался. Дальнейший анализ может быть направлен на более углубленное исследование этого этапа. Интересно было бы реконструировать, как мог сформироваться сам идеал системы "Начал" и как этот идеал мог быть реализован на материале стихийно сложившейся системы геометрических знаний и объектов.

[1] Примечание составителя: Автор выражает имевшиеся в его время представления о цивилизации о. Крит и её истории. В последующем эти представления претерпели значительные изменения, в настоящее время гибель цивилизации связывается с природной катастрофой – извержением вулкана Санторин.

[2] Ерёмин А.Д. Экологический фактор в истории человечества // Законы экологической сферы общества: Материалы VIII-ой Международной Нижегородской ярмарки идей, 33 Академического симпозиума, 27-30 мая 2005, Н. Новгород. - Н. Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2004. – С. 16-26.

[3] См.: Руденко А.П. Эволюционный катализ и проблемы происхождения жизни // Взаимодействие методов естественных наук в познании жизни. - М.: Наука, 1976. – С. 186 – 235; Ерёмин А.Д. Адаптация в природе: системно-генетические аспекты. – Н.Новгород: Вектор-ТиС, 2003. - 226с.

[4] См.: Пиаже Жан. Психология интеллекта. – СПб.: Питер, 2003. – 192с.

[5] См.: Лекторский В.А. Субъект, объект, познание. – М.: Наука, 1980. – 357с.

[6] Гайденко П.П. "Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ). - М.: Наука, 1980.

[7] Прим. составит.: Здесь важно понимать причины такого восприятия своего мифического мира древними греками. Человек живет в потоке жизнедеятельности, мифилогия составляет важную основу его социально-психической матрицы (СП-матрицы) и носит характер истинного, «само собой разумеющегося» знания о мире, которое не воспринимается рефлексивно и, по сути, «руководит» человеком как неосознаваемый им шаблон мышления. Становление древнегреческой философии со всей очевидностью показывают первые шаги в рефлексивном осознании механизма социальной обусловленности индивидуального мышления и становления рациональности. Не умаляя значения онтологической проблемы, которой занимались натурфилософы и элеаты, можно сказать, что именно в сфере самосознания человека состоит главная проблема философии и гениальный вклад в интеллектуальное становление человеческой мысли движения софистов и Сократа. Именно над этим системно думают Платон и Аристотель. Важным является также вопрос о социально-исторической обусловленности исторического момента формирования древнегреческой философии как начала процеса рефлексивного осмысления этой проблемы. Почему человечество именно в это историческое время «доросло» до осознания себя, своего способа мышления?

[8] Прим. составит.: Пифагорейцы вплотную подошли к ключевым проблемам математики - к проблемам бесконечности, предела и беспредельногог. Здесь важно видеть логику развития мысли от пафагорейцев далее – к Николаю Кузанскому, сформировавшему парадокс совпадения минимума и максимума. Это был ключ к решению проблем движения, поствленных ещё элеатами, и открывающему прямой путь созданию инструментария бесконечно малых и математическому естествознанию.

[9] Прим. составит.: примечательным является факт, что уже в пифагореизме при зарождении, в самом начале формирования истоков научного подхода в познании складывается представление, что познание – это и есть понимание закономерностей, которые выражаются, в первую очередь, в числе и числовыых отношениях. Это была проблема перехода от качественного представления о гармонии природы к количественным закономерностям. Радикальное решение данной проблемы было найдено уже в Новое время основоположниками классической механики Галилеем и Ньютоном, например в инвариантах движения, массе как «клеточке познания» движения, «снимающей» противоречие внутреннего (инерции) и внешнего (воздействия).

[10] Фишер Куно. История новой философии: Введение в историю новой философии. - М.: Издательство АСТ, 2003. - 541с.

[11] Куно Фишер - выдающийся немецкий историк философии, творивший в основном во второй половине XIX в.,

[12] Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли (http://www.sno.7hits.net/lib/index.htm).

[13] Ж.-П. Вернан, известный антиковед, родился 4 января 1914 г., учился в лицее Карно, а затем в Сорбонне (Париж). Автор поставил задачу в популярной форме изложить генезис греческой мысли и показать ее особенности. Книга вышла на французском языке в 1962г. и благодаря популярной и сжатой форме изложения имела во Франции большой успех. Помимо пяти французских изданий (последнее вышло в 1983 г.), она переведена на английский (1964), испанский (1965, 1970), греческий (1966), польский (1969), японский (1970), португальский (1972, 1977), итальянский (1982), немецкий (1983), румынский и словенский.

[14] Примечание составителя: Как тут не вспомнить Р. Декарта: «Мыслю – следовательно существую».

[15] Гайденко П.П. Научная рациональность и философский разум. — М.: Прогресс-Традиция, 2003. — 528 с.

[16] Примечание составителя: С учетом последующего изложения можно сказать, что вначале знаки служили для обозначения объекта, потом они породили знаки-модели (позволяют решать прямые задачи), а позже для решения обратных задач порождают знаки-выделения, которые являются идеальными объектами манипулирования.

[17] Примечание составителя: Идеальный объект (далее - ИО) соотносится не с исходным полем, а с моделью и, соответственно, ещё надо обосновать, что знание, порождаемое при оперировании с ИО, относится к модели и через них к самому полю. Ключ здесь, по-видимому, в операциях с геометрическими фигурами (далее - ГФ): наложения ГФ друг на друга и построения (выноса) на местности. Эти операции обладали свойством очевидной истинности, что было в начале науки основным критерием истины.

[18] Примечание составителя: Античная философия озабочена попытками понять основы социального устройства, здесь лежат причины этической оценки знания: человек с достаточными знаниями будет принимать грамотные социальные решения. Отсюда позиция Сократа: «Знание –благо».

[19] Примечание составителя: Вот – это главное для понимания античного этического отношения к знанию, здесь ключ к различению «знания» и «мнения», человек на основании знаний всегда ведет себя последовательно, предсказуемо, обоснованно, на общую познанную пользу, а человек не знающий подвержен сиюминутным мотивам и не надежен в социуме.

[20] Примечание составителя: Вот в этом и заключается основа науки и научного познания – сведение многого к единому.

[21] См.: Szabo A. Anfanger der griechischen Mathematik. Budapest, 1969.