Стихийная систематизация геометрических знаний

Можно выделить три возможных способа формирования системы геометрических знаний:

· схематизация и осмысление образцов решения шумеро-вавилонских и египетских задач;

· измерение и анализ геометрических фигур или вещественных моделей фигур;

· анализ трудностей, встречающихся при доказательстве теорем или решении проблем.

При этом постоянно действовали следующие факторы, способствующие стихийной систематизации геометрических знаний.

Познавательно-коммуникативный фактор.

Некоторые данные дают основание предположить, что первоначально в греческой математике геометрические положения не доказывались (в смысле требований геометрии Евклида), а пояснялись в целях обучения или профессионального общения. Первые геометры, судя по скудным историческим данным, для получения геометрического знания строили чертежи и затем сводили полученную фигуру к фигурам с уже известными отношениями

«Как свидетельствуют историки античной математики, первые геометры образовывали узкую эзотерическую группу лиц. Геометрические знания в этой группе распространялись от учителя к ученику или от одного члена группы к другому. Позднее члены этой группы перешли к более широкой аудитории и стали демонстрировать в ней полученние геометрических знаний».

При этом демонстрировались как сама фигура (позднее и способ ее построения), так и способ ее сведения к другой фигуре. Можно предположить, что когда получалось несколько геометрических положений, то они уже самой процедурой получения организовывались в разветвленные цепи, например: А получается на основе Б и В, Б и В-на основе Г, Д, а последние - на основе еще одной группы знаний и т.д., до тех пор пока не остаются самые "первые" знания, которые не получаются, а считаются, известными. В дальнейшем, вероятно, в целях обучения и облегчения профессионального общения, способы получения новых знаний осознаются и описываются с помощью специального языка.

Кроме того, для облегчения понимания длинные описания и процессы получения и объяснения знаний должны были разбиваться на отдельные части: те, где фиксировался способ получения и объяснения всех предыдущих знаний в цепи, и новые. Во избежание повторений в последующих описаниях математики опускали все части, входящие в предыдущие описания, просто отсылая к ним. Так складывалась система ссылок, опирающаяся на преобразование фигур и применение знаний типа "если то...".

Параллельно усложнялся и способ демонстрации фигур и их преобразований. Требование истинности геометрических знаний, постепенно укоренявшееся в сознании геометров, заставляло,

во-первых, обосновывать существование фигур, имеющих определенные свойства,

во-вторых, производить только те процедуры, которые вели к истине.

При этом считалось, что к истине ведут такие действия, когда новые фигуры сводились к уже познанным, а те - к началам. Так формировались "доказательства" геометрических положений и выделялись исходные, уже имеющиеся геометрические знания ("начала" рассуждений). Появление ссылок и процедур доказательства, это, пожалуй, один из первых явных признаков системности геометрических знаний. Действительно, ссылки и доказательства превращают отдельные геометрические знания в науку, в систему знаний.

Второй фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, - образование не только "прямых" процедур (доказательств теорем), но и "обратных" (решения "проблем"). В современной геометрии последним соответствуют задачи на построение. Этот фактор условно можно назвать "оперативно-познавательным".

Оперативно-познавательный фактор.

Если в доказательстве по заданному объекту (фигуре или элементу фигуры) необходимо получить определенное знание о свойстве данного объекта, то при решении "проблемы", исходя из некоторых знаний, необходимо построить определенный объект (фигуру или элемент фигуры с определенными свойствами). "Проблемы" "поставляли" для доказательств исходный материал - фигуры с определенными свойствами, истинные утверждения о которых и подлежало доказать. Но, с другой стороны, доказательства тоже могли дать исходный материал для решения "проблем".

Выше мы отмечали, что для получения геометрических знаний в доказательствах строились чертежи и полученную в чертеже фигуру сводили к фигурам с уже известными отношениями. В логическом плане такое сведение можно интерпретировать как отнесение к построенному чертежу (новому объекту) ранее полученных знаний. Таким образом, новое знание как бы включало в себя старое, но относилось к новому чертежу. Можно предположить, что к новым чертежам могли быть отнесены такие знания, которые позволяли получить утверждения, противоречащие полученным ранее. Разбор процедур их получения мог показать, что ошибка возникает в связи с тем, что к чертежу были отнесены "неправильные" знания. Например, могли предположить,

что треугольник можно построить из любых 3-х линий, а выяснилось - только из таких, две из которых всегда больше третьей;

что против большой стороны треугольника может лежать любой угол, а оказалось - только больший угол.

Хотя отнесение к чертежу неправильного знания вполне объяснимо (на первых этапах развития геометрии чертежи, судя по всему, строились "на глазок" без специальных обоснований, причем геометр, очевидно, предполагал, что данный построенный чертеж как раз такой, из которого можно получить знание, отнесенное к чертежу), оно обязательно порождало определенные антиномии. Учитывая особый характер объектов геометрии - это идеальные объекты, имеющие ряд конструктивных свойств, которые задаются априорными знаниями (отношениями равенства, неравенства, подобия, параллельности и др.), - можно понять, что собой представляют эти антиномии. "Получая" относительно одного и того же чертежа два противоположных утверждения, греческие математики фактически превращали этот чертеж в две разные фигуры. Но поскольку фигура отождествлялась с чертежом, они должны были считать, что получили относительно одной фигуры в одной процедуре два истинных утверждения:

А (например, "углы у треугольника равны двум прямым") и

не-А ("углы у треугольника не равны двум прямым")

Именно с такими представлениями полемизировал Платон:

"Они выражаются как-то очень забавно и принужденно, словно они заняты практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют выражение "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем наложение" и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все это наука, которой занимаются ради познания".

"Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не той диагонали, которую они начертили".

Вероятно, поэтому греческие математики приходят к мысли, что одно из полученных утверждений не может относиться к данному объекту; это - неправильное утверждение, оно не имеет права на существование и должно быть исключено из цепи знаний. Но какое же из двух надо исключить, признать неистинным? Можно предположить, что признавалось ложным то, которое, увеличивая число знаний, внесло разлад в уже полученные знания.

Обнаружив, что определенное геометрическое знание можно отнести не к любому чертежу, греческие математики осознали необходимость соответствующей проверки, предваряющей доказательство. Можно предположить, что подобные затруднения и требования на определенном этапе развития геометрии были осознаны и сформулированы в виде "проблем". Как и всякую обратную задачу (по отношению к доказательству), "проблему", по всей видимости, удалось решить, когда заметили, что в процессе некоторых геометрических доказательств, проводимых с помощью построения и преобразования фигур, уже были получены такие фигуры, к которым отнесено нужное знание.

Однако не всегда для решения "проблемы" можно найти нужный образец получения геометрических знаний; вероятно, в большинстве случаев такого образца найти не удавалось. Поэтому, естественно предположить, что, когда был осознан сам принцип подбора образца доказательства, отсутствующий образец стали строить специально. При его построении подбирали такое знание, в процессе доказательства которого встречали нужный результат. Тем самым решение "проблем" должно было повлечь за собой получение новых геометрических знаний. Значит, на этом этапе складывалась пара из прямой и обратной процедур: доказательства и решения "проблем". Эта пара действовала как своеобразный "системный генератор" получения новых геометрических знаний. Решение одних "проблем" должно было порождать постановку и решение новой группы "проблем" и тем самым приводить к расширению знаний, что снова порождало постановку и решение следующей группы "проблем" и т.д. Анализ "проблем" и доказательств в "Началах" показывает, что все движение заканчивается, когда удается прийти к постановке "проблемы", решение которой осуществлялось с помощью инструментов (например, линейки и циркуля).

Так для построения равностороннего (равнобедренного) треугольника проводят две окружности с одинаковыми радиусами и доказывают, что треугольник равносторонний, так как все его стороны-радиусы, а все радиусы у окружностей равны. При этом вроде бы нельзя задать вопрос: а можно ли провести две окружности с одинаковым радиусом или можно ли точки А, В, С соединить отрезками АВ, ВС, АС? Греческие математики, вероятно, думали, что это вполне осуществимо: нужно взять циркуль и линейку и провести соответствующие линии. Однако вопрос не в том, можно ли или нельзя провести окружность, а в том, равны ли у окружности все радиусы, т.е. можно ли достоверно утверждать, что "все радиусы окружности равны"

"Евклид, - пишет Д. Д. Мордухай-Болтовский, - вовсе не приписывал идеального существования геометрическим объектам, как это делал Платон. При доказательстве какой-нибудь теоремы производилось построение нужной геометрической фигуры, которая, таким образом, и вызывалась к существованию".

Однако геометрическое знание (теоремы) все же нужно было доказать. Только "замыкающие" знания не доказывались; подобное исключение из правил представляло своего рода познавательный компромисс).

Третий фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, можно назвать "интерпретационным".

Интерпретационный фактор.

Интерпретация в геометрическом "языке доказательств" образцов решения шумеро-вавилонских задач, по-видимому, позволила получить ряд новых геометрических знаний. Вот лишь один пример.

От вавилонской математики был получен, в частности, образец решения следующей задачи:

"Длина и ширина прямого поля.

Длина превышает ширину на 10.

Площадь поля II.

Длина и ширина сколько? ($.$) " (см. рис. 2).

Решение:

"Раздели то, на что превышает длина ширину пополам 10:2 - получишь 5.

Возьми результат пять раз (т. е. возведи в квадрат) -- получишь 25.

Сложи 25 с величиной площади II - получишь 36.

Извлеки затем квадратный корень - получишь 6.

Вычти из шести 5 - получишь 1 (ширину поля).

Сложи 6 и 5 - получишь II (длину поля)".

На основе этого образца можно было решить аналогичные задачи, отличающиеся от данной числовыми значениями, но нельзя было понять, почему разница между длиной и шириной должна делиться пополам, а полученный результат затем возводиться в квадрат, зачем величина данного квадрата складывалась с величиной площади поля и из полученного результата извлекался квадратный корень, почему, наконец, сумма полученного квадратного корня с половиной длины и ширины дает длину поля, а разность - ширину.

Можно предположить, что греческие математики (очевидно, поздние пифагорейцы) стали рассматривать приведенный образец решения с точки зрения уже известных им чертежей и геометрических знаний. Естественно, что сначала они должны были рассмотреть подобным образом условие задачи.

1. "Длина и ширина прямого поля". Вероятно, задан некоторый прямоугольник ABCD, у которого известны длина ВС и ширина АВ (см. рис. 3).

2. "Длина превышает ширину на 10". Следовательно, одна сторона прямоугольника больше другой стороны на определенную величину; это можно изобразить так (см. рис. 4), где сторона ВС больше стороны АВ (отрезок BE равен стороне АВ) на отрезок ЕС.

3. "Площадь поля 11", т.е. задана величина (площадь) прямоугольника ABGD.

4. "Нужно найти длину и ширину", иначе определить стороны АВ и ВС.

Требование задачи - определить стороны АВ и ВС – греческие геометры могли осмыслить следующим образом: два отрезка ВС и BE будут определены, если известны их разность - отрезок ЕС и произведение - величина прямоугольника - ABCD, построенного на этих отрезках. Тем самым в геометрии была сформулирована новая теорема (положение):

"Доказать, что два отрезка будут определены, если определен прямоугольник, построенный на этих отрезках и определен отрезок, равный разности исходных отрезков (предложение 84 (85) "Данных" Евклида".

Аналогично, по-видимому, было осмыслено в геометрическом языке и решение данной задачи. Приблизительно так же были сформулированы условия и решения многих других шумеро-вавилонских и египетских задач (эти формулировки и решения вошли затем в первые книги "Начал" Евклида).

Но был, вероятно, еще один источник, получения новых геометрических положений (знаний). Ван-дер-Варден утверждает, что первоначально греческие математики имели готовые тексты (шумеро-вавилонской и египетской математики), которые можно было описать на основе геометрического языка. Однако со временем должна была сложиться познавательная процедура построения подобных текстов. Можно предположить, что она включала операции сопоставления и измерения, применяемые к реальным или знаковым объектам - вещественным моделям или чертежам; по отношению к фигурам подобные знаковые объекты выступали в качестве моделей. В этом случае фигуры или их элементы не сводили одни к другим путем мысленного наложения, а сопоставляли друг с другом по величине или конфигурации (так в некоторых случаях поступал Архимед). Последовательное сопоставление позволяло получить новые знания.

Вот один из примеров:

· "четырехугольник в два раза больше треугольника";

· "у прямого (косого) четырехугольника противоположные стороны не сближаются и не удаляются" (потом стали говорить "параллельны");

· "у прямого четырехугольника две любые прилежащие стороны наклонены друг к другу под прямым углом";

· "противоположные стороны, которые не сближаются и удаляются, одинаково наклонены к линии, пересекающей одну из этих сторон под прямым углом".

Именно такие серии знаний были в дальнейшем схематизированы в теоретическом языке геометрии. В "Началах" Евклида мы находим уже такие геометрические знания:

"прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, равные двум прямым" (предложение 29, первой книги).