Расчёт структурной надёжности систем

Показатели надёжности ТС рассчитываются на основании предположения, что система и любой её элемент могут находиться только в одном из двух возможных состояний – работоспособном и неработоспособном, и отказы элементов независимы. Состояние системы (работоспособное или неработоспособное) определяется состоянием элементов и их сочетанием. Поэтому теоретически возможно свести расчет безотказности любой ТС к перебору всех возможных комбинаций состояний элементов, определению вероятности каждого из них и сложению вероятностей работоспособных состояний системы.

Такой метод (метод прямого перебора – см. п. 5.4) практически универсален и может использоваться при расчете любых ТС. Однако при большом количестве элементов системы n такой путь становится нереальным из-за большого объема вычислений (например, при n = 10 число возможных состояний системы составляет = 1024, при n = 20 превышает , при n = 30 –
более ). Поэтому на практике используют более эффективные и экономичные методы расчета, не связанные с большим объемом вычислений. Возможность применения таких методов связана со структурой ТС.

5.5.1. Системы типа «m из n»

Систему типа«m из n» можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

Для расчёта надёжности систем типа «m из n» при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора.

Например, рассматривается система «2 из 5» (рис. 5.7), которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементовравнозначны).

Рис. 5.7. Система «2 из 5»

работоспособность такой системы определяется количеством работоспособных элементов. Все состояния системы «2 из 5» занесены в табл. 5.2 (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком «+», неработоспособные – знаком «–»).

вероятность любого состояния ТС определяется по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы.

С учётом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний. Удобнее вычислить вероятность отказа системы, так как количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний.

(5.13)

Тогда вероятность безотказной работы системы

(5.14)

Расчёт надёжности системы «m из n» может производиться комбинаторным методом при использовании биномиального распределения. Случайная величина называется биномиально распределенной с параметрами n и p, если возможные значения 0,1,…, n она принимает с вероятностями P (n, k), задаваемыми формулой

(5.15)

где − биномиальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по
k из n»:

(5.16)

Так как для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество работоспособных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, ... (m – 1):

(5.17)

Аналогичным образом можно вычислить вероятность безотказной работы как сумму (5.15) для k = m, m + 1, ... , n:

. (5.18)

Зная, что P + Q = 1, в расчётах следует выбирать ту из формул (5.17), (5.18), которая в данном случае содержит меньшее число слагаемых.

Для системы «2 из 5» (рис. 5.7) по формуле (5.18) получается:

(5.19)

Вероятность отказа той же системы по (5.17) составит:

(5.20)

Таблица 5.2

Таблица состояний системы «2 из 5»

№ состояния	Состояние элементов	Состояние системы	Вероятность состояния системы
	+	+	+	+	+	+
	+	+	+	+	–	+
	+	+	+	–	+	+
	+	+	–	+	+	+
	+	–	+	+	+	+
	–	+	+	+	+	+
	+	+	+	–	–	+
	+	+	–	+	–	+
	+	–	+	+	–	+
	–	+	+	+	–	+
	+	+	–	–	+	+
	+	–	+	–	+	+
	–	+	+	–	+	+
	+	–	–	+	+	+
	–	+	–	+	+	+
	–	–	+	+	+	+
	+	+	–	–	–	+
	+	–	+	–	–	+
	–	+	+	–	–	+
	+	–	–	–	+	+
	–	+	–	–	+	+
	–	–	–	+	+	+
	+	–	–	+	–	+
	–	+	–	+	–	+
	–	–	+	–	+	+
	–	–	+	+	–	+
	+	–	–	–	–	–
	–	+	–	–	–	–
	–	–	+	–	–	–
	–	–	–	+	–	–
	–	–	–	–	+	–
	–	–	–	–	–	–

В табл. 5.3 приведены формулы для расчёта вероятности безотказной работы систем типа «m из n» при m n 5.

Таблица 5.3