Модельный эксперимент

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента заключается в составлении плана или программы проведения эксперимента, при этом ставятся целевые задачи исследований моделей, для которых определяется диапазон значений параметров моделей, методы формирования статистических выборов, а также необходимое и достаточное число повторений эксперимента (или значений модельного времени). В большинстве случаев модели характеризуются множеством параметров, которые оказывают влияние на результаты и цели моделирования. Учет степени влияния параметров по результатам экспериментов требуют использования следующих подходов к планированию экспериментов:

1) вариация одного из параметров в различных сочетаниях с другими параметрами, имеющими фиксированное значение;

2) использование суперкритерия;

3) использование методов факторного анализа.

При использовании суперкритерия применяют свертывание множества входных параметров, оказывающих одинаковое влияние в один скалярный параметр.

Основные цели планирования эксперимента:

1. обеспечить получение несмещенных оценок влияния различных факторов на разных уровнях с результатом любого эксперимента;
2. исключить возможное совместное влияние различных факторов;
3. устранить на время проведения эксперимента изменение исследуемого объекта;
4. обеспечить адекватную оценку ошибок эксперимента (точность);
5. обеспечить выполнение программы эксперимента.

Общий порядок планирования:

1. формулировка целей эксперимента. Учитывается информация о предыдущих экспериментах и условия реализации эксперимента;
2. составление предварительного плана эксперимента;
3. обсуждение плана всеми участниками эксперимента;
4. утверждение окончательного плана эксперимента;
5. проведение эксперимента;
6. анализ полученных экспериментальных данных;
7. написание отчета;

a) полученные экспериментальные данные отображаются в доступном для понимания человеком виде;

б) сопоставление полученных результатов и поставленных целей эксперимента.

Может быть принято решение о корректировке модели или проведении дополнительных экспериментов для уточнения экспериментальных данных.

Эксперимент проводится с целью получения информации о характеристиках процесса или параметров системы. Анализ полученной информации проводится для решения оптимизационных задач, а также с целью увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т.д.

Решение отмеченных задач существенно зависит от плана эксперимента, а именно, от объема вычислений, порядка проведений, накапливаемых результатов и используемых статистических методов обработки машинных данных. Хотя во многих прикладных областях применяются специфические подходы к планированию и проведению эксперимента и даже разработаны теории планирования эксперимента на базе математических методов, но применение для проведения компьютерного эксперимента вызывает затруднение. Поэтому при проведении компьютерного эксперимента применяют методы имитационного моделирования. Недостатком компьютерного эксперимента является наличие корреляции выходных данных. При планировании эксперимента модель системы также рассматривают в виде черного ящика, определяемого входные и выходные переменные.

Факторы называют экзогенными переменными; реакции – эндогенными переменными. Каждый фактор может принимать одно из возможных значений в ходе эксперимента. Каждое значение фактора называется уровнем и характеризует некоторое состояние. Каждому фиксированному набору факторов соответствует точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперимент может быть реализован не во всех точках факторного пространства, а только в некоторой его области, определяемой ограничениями.

Если при проведении эксперимента фактор может менять значение, то он называется активным, иначе – пассивным.

Y = f (x₁, x₂, … x_n) – функция реакции.

До проведения эксперимента функция реакции неизвестна. В ходе эксперимента получают приближение функции реакции, которое в дальнейшем аппроксимируется известной аналитической зависимостью.

Y = j (x₁, x₂, … x_n) + е (x₁, x₂, … x_n), где е (x₁, x₂, … x_n) – функция ошибки. Функция ошибки носит случайный характер.

Дисперсия наблюдаемой выходной переменной DY = De определяется дисперсией функции ошибки и характеризует качество эксперимента.

При планировании эксперимента одновременно могут меняться несколько факторов. При постановке задач планирования рассматривают два вопроса:

1. из всех допустимых вариантов составления плана необходимо выбрать такой, чтобы при фиксированном числе экспериментов получить наиболее достоверное значение функции реакции (стратегическое планирование эксперимента);
2. выбрать такой допустимый план, при котором статистические оценки функции реакции могут быть получены с заданной точностью при минимальном объеме вычислений (тактическое планирование эксперимента).

Стратегическое планирование эксперимента

При стратегическом планировании эксперимента решаются две задачи:

1. идентификация факторов (определение степени важности входных переменных). В результате из множества факторов выбирают значимые (первичные), которые изменяются в ходе эксперимента и незначимые (вторичные), влияние которых трудно учесть;
2. выбор уровней факторов должен проводиться с учетом следующих требований:

а) уровни фактора должны перекрывать весь диапазон возможных значений фактора;

б) число уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему вычислений.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом. Тогда число различных комбинаций уровней определяется

N = n₁ × n₂

Недостаток полного факторного эксперимента – это большие временные затраты на подготовку и проведение. Например, в модели определены четыре значимых фактора, каждый из которых имеет 3 уровня.

N = 3⁴ = 81 эксперимент

Поэтому на практике проводят частичный факторный эксперимент. Для его проведения используют различные планы:

1) рандомизированный план – случайный выбор сочетаний уровней факторов при фиксированном числе прогонов

Для рандомизированного плана играет роль способ формирования выборки и объем выборки. Для получения достоверных результатов объем выборки принимается равным 20% от количества сочетаний N.

2) латинский квадрат используется для проведения частичного факторного эксперимента с одним значимым первичным фактором и несколькими вторичными факторами. Если первичный фактор имеет n уровней, то для каждого вторичного фактора также ограничивается по n уровней.

3) эксперимент с изменением факторов по одному используется, если факторы являются независимыми. Один из факторов пробегает все уровни при фиксированных уровнях других факторов

N = n₁ + n₂ + n₃ = 12

4) дробный факторный эксперимент. Для каждого фактора определяются граничные уровни (верхний и нижний). Поэтому общее число экспериментов N = 2^k, k – количество факторов

0 – min уровень, 1 – max уровень

Тактическое планирование эксперимента

Совокупность методов определения, необходимого объема испытаний, начальных условий с целью обеспечения точности и достоверности называют тактическим планированием. поскольку точность оценок определяется дисперсией наблюдаемой выходной переменной, то основу тактического планирования составляют методы понижения дисперсии. Учитывается различие понятий точный результат и достоверный результат.

b₀ – ширина определяется дисперсией (разбросом), у₀ не попадает в b₀ – оценка неточная, при b₁ – точная оценка, но не достоверная, т.к. разброс слишком большой.

1) у₀ b

2) min b, b→0, DY→0

Объем испытаний, необходимый для получения точных и достоверных оценок зависит от следующих факторов: вида распределения наблюдаемой переменной у; статистической зависимости эксперимента; наличия и длительности переходных процессов при запуске и остановке модели. Если исследователь не обладает перечисленной информацией, то остается единственный способ повышения точности и достоверности результатов – увеличение числа экспериментов при различных сочетаниях уровней факторов, по завершении которых вычисляется математическое ожидание и дисперсия наблюдаемой переменной. При этом число прогонов увеличивается для каждого сочетания факторов. Например, N = 81, эксперимент по 10 прогонов для каждого сочетания и времени t= 1 мин на каждый прогон. Это потребует порядка 13 часов непрерывной работы. Таким образом, необходимо определить минимальный и достаточный объем выборки, обеспечивающий требуемую точность результатов. Минимальный объем испытаний определяют несколькими способами:

1. Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированны (не взаимосвязаны) и их распределение существенно не меняется при повторении испытаний, то среднее значение результата считается нормально распределенным. В этом случае число прогонов необходимое для того, чтобы истинное значение измеряемой величины попадало в интервал у₀ у ± b/2 с вероятностью P = 1 –α, где α – надежность.

(*), где Z – значение функции плотности нормального распределения, определяемая по справочной таблице на уровне значимости α/2; DY – дисперсия наблюдаемой величины; b – доверительный интервал.

Если требуемое значение DY неизвестно до начала эксперимента, то проводят пробную серию испытаний, по которым находят дисперсию.

DY =

Подставив найденную дисперсию в формулу (*) проводят дополнительно N – L экспериментов.

2. Если необходимая выходная переменная является векторной величиной, то оценку необходимого числа повторений проводят для каждого элемента вектора и принимают наибольшую из найденных оценок.

Примечание: основной недостаток рассматриваемого подхода – это медленная сходимость выборочных средних к истинным значениям с ростом числа экспериментов.

Поэтому на практике применяют следующие методы уменьшения ошибки:

- значительное увеличение модельного времени;

- исключение из рассмотрения моментов запуска и остановки;

- запуск модели с некоторыми начальными условиями.

Для исключения влияния переходных процессов используют следующие методы:

Метод повторения: в этом методе наблюдения проявляются при одних и тех же начальных условиях, но используются различные последовательности случайных чисел;

Метод подинтервалов: здесь весь диапазон модельного времени разделяется на отдельные интервалы, принимаемые за отдельные прогоны;

Метод циклов: в этом методе интервалы выбираются на всем диапазоне модельного времени таким образом, чтобы в их начальных точках условия были одинаковы. Это позволяет снизить корреляцию формируемых выборов;

Метод стратификационной выборки: здесь выборку, полученную на всем диапазоне модельного времени, разделяют на слои (страты). Внутри каждого слоя значения элементов выборки мало различимы, а между слоями имеется большое различие. В каждом слое вычисляют математическое ожидание и дисперсию, а потом находят среднее значение по слоям.