Применение теории подобия к течению рабочего тела в компрессоре

Установившиеся течения газа являются подобными в том случае, если при обтекании геометрически подобных тел отношение скоростей, давлений и температур для любых сходственных точек в каждый момент времени являются одинаковыми.

Рис. 15

На рис. 15 показано обтекание геометрически подобных профилей. Чтобы определить, являются ли два сравниваемых течения подобными, выберем в одном из них две произвольные точки a и b ; тогда сходственными точками в другом течении будут a’ и b’.

При подобии рассматриваемых течений выполняются условия:

. (16)

Из этого определения следует. что у подобных течений поля скоростей. давлений и температур в любых соответственно расположенных сечениях являются подобными. Геометрически подобными являются также и все линии тока. Последнее свойство подобных течений известно под названием кинематического подобия.

Одной из основных задач теории подобия является выявление достаточных условий подобия, т.е. тех минимальных требований, при соблюдении которых обеспечивается подобие рассматриваемых течений. При этом доказывается, что для получения подобия течений двух газовых потоков необходимо обеспечить равенство ряда критериев подобия и удовлетворить определённым краевым условиям.

Так для установившегося течения сжимаемого вязкого газа при наличии теплообмена подобие течений может быть обеспечено в общем случае, если равны следующие критерии подобия:

число Маха ,характеризующий сжимаемость газа;

число Рейнольдса , характеризующий вязкость газа;

число Пекле , характеризующий теплообмен;

число Фруда , характеризующее действие на газ сил земного

притяжения.

Для обеспечения подобия течения газа необходимо также иметь в сходственных точках одинаковые показатели адиабаты .

При рассмотрении течения рабочего тела в элементах компрессора в большинстве случаев можно пренебречь действием сил земного притяжения, теплообменом, а также изменением показателя адиабаты в зависимости от изменения внешних условий.

Основными факторами, которые необходимо здесь учитывать являются сжимаемость и вязкость.

В этом случае критериями подобия следует считать число МичислоRe.

Однако при больших числах Re , когда Re> Re_кр , течение рабочего тела не зависит от критерия подобия числа Re и такое течение принято называть автомодельным.

При сделанных допущения подобие течений в компрессорах ГТД определяются только равенством чисел М.

В случае обтекания рабочим телом неподвижных решёток направляющих и спрямляющих аппаратов подобие течений определяется равенством чисел М , полученных по абсолютной скорости набегающего потока и углов атаки.

Для решёток рабочих колёс для подобия течений необходимо обеспечить равенство чисел М набегающего потока в относительном движении и углов атаки.

Эти условия обеспечиваются при соблюдении равенства двух чисел М : ч числа М_а , взятого по осевой скорости потока,

, (17)

и числа М_u ,определённого по окружной скорости колеса компрессора,

. (18)

Обычно принято скорость с_а и температуру Т и числа М_а брать на входе в рабочее колесо первой ступени на среднем радиусе, а скорость u – на входных кромках рабочего колеса первой ступени на этом же радиусе.

В таком случае рассматриваемые параметры будут обозначаться с_1а , u₁ и Т₁ , а числа М :

и .

Используя треугольники скоростей, можно доказать, что при постоянстве чисел М_а1 и М_u1 числа М набегающего потока и углы атаки в компрессорных решётках остаются неизменными и течение рабочего тела во всём компрессоре является подобным.

Из треугольника скоростей на входе в рабочее колесо следует,что

;

разделив все члены этого равенства на kRT₁ получим

.

При равенстве чисел М_а1 и М_u1 и постоянстве М_с1 и α₁ остаётся неизменным число M_w1 .

Можно также доказать, что течения рабочего тела в направляющем аппарате, стоящим за колесом, также будут подобными. Это следует из того, что числа M_w2 и углы β₂ на выходе из лопаток рабочего колеса при подобных течениях должны оставаться неизменными.

Постоянными будут также и числа , так как для подобных режимов . Кроме того, у данного компрессора или у компрессоров, геометрически подобных, отношение также . На основании выше изложенного получаем, что числа М_с2 равны

,

будут оставаться постоянными.

Этим доказывается, что в рассматриваемом случае будут соблюдаться условия при течении рабочего тела в направляющем аппарате.

Аналогичным образом подобие течений будет распространяться на все последующие лопаточные венцы и ступени компрессора, что и доказывает подобие режимов работы компрессора в целом.

Лекция № 4