Пример расчета ребристой панели перекрытия

Требуется рассчитать и сконструировать ребристую панель для перекрытия производственного здания. Номинальные размеры панели в плане 6 1,2 м. Действующие на перекрытие постоянные нагрузки принять по таблице 5.

Таблица 5 – Нагрузка на междуэтажное перекрытие производственного здания

Вид нагрузки	Нормативная нагрузка, Н/м2	Коэффициент надежности по нагрузке	Расчетная нагрузка, Н/м2
Постоянная: От плиточного пола, при t=15 мм; ρ=2000 кг/м3 от цементного выравнивающего слоя, при t=20 мм, ρ=2000 кг/м3 от шлакобетонных плит при t=60 мм, ρ=1600 кг/м3 от железобетонной панели приведенной толщиной t=100 мм, ρ=2500 кг/м3		1,1   1,3     1,2   1,1
Итого Временная: кратковременная pcd длительная pld		–   1,2 1,2
Итого Полная нагрузка		– –

Временная нормативная нагрузка 7000 Н/м², в том числе длительного действия 5000 Н/м². Коэффициент надежности . Ребра панели армируют сварными каркасами из стержневой стали класса А-III, плиту армируют сварной сеткой из проволоки класса Вр-I. Бетон панели класса В25.

Расчетные данные по табл. Для бетона класса В25: R_b=14,5 МПа; R_bt=1,05 МПа, R_bser=18,5 МПа; R_bt,ser=1,6 МПа, E_b=27 10³ МПа; для арматуры класса А-III: R_s=355 МПа (при диаметре 6 8 мм), R_sw=290 МПа, E_s=2 10⁵ МПа; для арматуры диаметром 5 мм класса Вр-I: R_s=360 МПа; R_sw=260 МПа и E_s=1,7 10⁵ МПа.

Определение нагрузок и усилий.Нагрузки на 1 м длины панели шириной 1,2 м: постоянная нормативная qⁿ=4200·1,2=5100; постоянная расчетная q=4800·1,2=5760; временная нормативная pⁿ=8000·1,2=9600; расчетная p=9600·1,2=11 500, в том числе временная длительная нормативная pⁿ_ld=5000·1,2=6000; временная длительная расчетная p_ld=5000·1,2·1,2=7200; кратковременная нормативная pⁿ_cd=3000·1,2=3600; кратковременная расчетная p_cd=3000·1,2·1,2=4320 Н/м.

Расчетная длина панели при ширине прогона b=20 см:

l₀=l-b/2=6-0,2/2=5,9 м.

Расчетная схема панели представляет собой свободно опертую балку таврового сечения с равномерно распределенной нагрузкой.

Определяем расчетные изгибающие моменты от полной расчетной нагрузки

M=ql²₀γ_n/8=(5760+11 500) ·5,9²·0,95/8=71 500 Н·м = 71,5 кН·м;

от полной нормативной нагрузки

M_n=(5100+9600) ·5,9²·0,95/8=61 000 Н·м;

от нормативной постоянной и длительной временной нагрузок

Mⁿ_ld=(5100+6000) · 5,9²·0,95/8=46 000 Н·м;

от нормативной кратковременной нагрузки

Mⁿ_cd=3600·5,9²·0,95/8=14 900 Н·м.

Максимальная расчетная поперечная сила

Q= ql²₀γ_n/2=17,2·5,9·0,95/2=48,3 кН,

где q = 5760+11 500=17 260 Н/м=17,26 кН/м.

Предварительное определение сечения панели.Высоту сечения панели находим из условий обеспечения прочности и жесткости по эмпирической формуле

где - для ребристой панели с полкой в сжатой зоне; с=30 – при применении арматуры из стали класса А-III;

принимаем h=40 см кратко 5 см.

Применительно к типовым заводским формам предварительно назначаем другие размеры сечения: толщину продольных ребер 80 и 100 мм (средняя толщина b_p=90 мм), толщину плиты h^/_f=60 мм, высоту поперечных ребер 200 мм, ширину сечения внизу 60 мм и вверху 110 мм.

Для расчета арматуры сечения ребристой панели приводим к тавровому с полкой в сжатой зоне: ширину сжатой полки b^/_f=116 мм, так как h^/_f/h=6/40=0,15>0,1 и имеются поперечные ребра; толщину h^/_f=6 см,суммарную ширину приведенного ребра b=2b_p=2·9=18 см. Рабочая высота сечения предварительно h₀=h-a=40-4=36 см.

Проверяем соблюдение условия, полагая предварительно, что коэффициент φ_ω1=1:

48 300<0,3·1·0,87·14,5·0,9(100)18·36=221·10³ Н,

где

Условие соблюдается, принятое сечение достаточно для обеспечения прочности по наклонной полосе.

Расчет нормальных сечений по прочности. Устанавливаем расчетный случай для тавровых сечений, проверяя условие

M=7 150 000 Н·см<14,5·0,9(100)116·6(36-0,5·6);

M=71,5·10⁵<300·10⁵ Н·см.

Условие соблюдается, следовательно, нейтральная ось проходит в полке (x<h^/_f):

по таблице 6 находим

Таблица 6 – Данные для расчета изгибаемых элементов прямоугольного сечения, армированных одиночной арматурой

ᶓ=x/h0	r0=1/	ɳ=zb/h0	A0	ᶓ=x/h0	r0=1/	ɳ=zb/h0	A0
0,01		0,995	0,01	0,36	1,84	0,82	0,295
0,02	7,12	0,99	0,02	0,37	1,82	0,815	0,301
0,03	5,82	0,985	0,03	0,38	1,8	0,81	0,309
0,04	5,05	0,98	0,039	0,39	1,78	0,805	0,314
0,05	4,53	0,975	0,048	0,40	1,77	0,8	0,32
0,06	4,15	0,97	0,058	0,41	1,75	0,795	0,326
0,07	3,85	0,965	0,067	0,42	1,74	0,79	0,332
0,08	3,31	0,96	0,077	0,43	1,72	0,785	0,337
0,09	3,41	0,955	0,085	0,44	1,69	0,78	0,343
0,10	3,24	0,95	0,095	0,45	1,68	0,775	0,349
0,11	3,11	0,945	0,104	0,46	1,67	0,77	0,354
0,12	2,98	0,94	0,113	0,47	1,66	0,765	0,359
0,13	2,88	0,935	0,121	0,48	1,64	0,76	0,365
0,14	2,77	0,93	0,13	0,49	1,63	0,755	0,37
0,15	2,68	0,925	0,139	0,50	1,62	0,75	0,375
0,16	2,61	0,92	0,147	0,51	1,61	0,745	0,38
0,17	2,53	0,915	0,155	0,52	1,6	0,74	0,385
0,18	2,47	0,91	0,164	0,53	1,59	0,735	0,39
0,19	2,41	0,905	0,172	0,54	1,58	0,73	0,394
0,20	2,36	0,90	0,18	0,55	1,57	0,725	0,399
0,21	2,31	0,895	0,188	0,56	1,56	0,72	0,403
0,22	2,26	0,89	0,196	0,57	1,55	0,715	0,408
0,23	2,22	0,885	0,203	0,58	1,54	0,71	0,412
0,24	2,18	0,88	0,211	0,59	1,535	0,705	0,416
0,25	2,14	0,875	0,219	0,60	1,53	0,7	0,42
0,26	2,1	0,87	0,226	0,61	1,525	0,695	0,424
0,27	2,07	0,865	0,236	0,62	1,52	0,69	0,428
0,28	2,04	0,86	0,241	0,63	1,515	0,685	0,432
0,29	2,01	0,855	0,248	0,64	1,51	0,68	0,435
0,30	1,98	0,85	0,255	0,65	1,5	0,675	0,439
0,31	1,95	0,845	0,262	0,66	1,495	0,67	0,442
0,32	1,93	0,84	0,269	0,67	1,49	0,665	0,446
0,33	1,9	0,835	0,275	0,68	1,485	0,66	0,449
0,34	1,88	0,83	0,282	0,69	1,48	0,655	0,452

Проверяем условие находим значение :

где

условие удовлетворяется;

Площадь сечения продольной арматуры в ребрах

принято 4 Ø 14 А-III, A_S=6,16 см², располагая по два стержня в ребре (можно также предусмотреть 2 Ø 20 А-III, A_S=6,28 см², по одному продольному стержню в каждом ребре). В данном примере принято 2 Ø 14 А-III в каждом ребре, чтобы показать обрыв части продольных стержней в пролете в соответствии с эпюрой изгибающего момента; этим можно сократить расход арматуры. При двухрядном расположении арматуры h₀=h-a₃-d₁-a₁/2=40-2-1,4—2,5/2=35,3 см 35 см (здесь a₃ 2 см и a₁ 2,5 см – соответственно защитный слой бетона и расстояние между стержнями, см).

Расчет наклонного сечения по прочности. Q=48,3 кН. Вычисляем проекцию расчетного наклонного сечения на продольную ось с. Влияние свесов сжатых полок (при двух ребрах):

Коэффициент φ_n=0, ввиду отсутствия предварительного обжатия. Вычисляем сумму коэффициентов (1+φ_f+φ_n)=1+0,25+0=1,25<1,5. Параметр B_b=φ_b2·(1+ φ_f+ φ_n)·R_btγ_b2bh²₀=2·1,25·1,05(100)0,9·18·36²=55,3·10⁵ Н·см.

В расчетном наклонном сечении Q_b=Q_sw=Q/2, поэтому наклонное сечение c=B_b/0,5 Q=55,3·10⁵/0,5·48 300=230 см>2h₀=2·36=72 см; принимаем c=2h₀=72 см. Тогда поперечное усилие Q_b=B_b/c=55,3·10⁵/72=75,7·10³ Н=75,7 кН, что больше Q=48,3 кН, следовательно, поперечная арматура по расчету не требуется.

Принимаем конструктивно поперечные стержни Ø 6 А-I, A_sw=0,283 см². Шаг поперечных стержней и не более s=15 см.

Принимаем на приопорном участке длиной ¼ пролета (600/4=150 см) шаг поперечных стержней s=15·см, а в средней половине пролета панели проектируем их размещение по конструктивным требованиям при и не более s=50 см. Принимаем в средней половине длины каркасов продольных ребер шаг поперечных стержней s₂=30 см.

Определение места обрыва в пролете продольных стержней. В пролете допускается обрывать не более 50% расчетной площади сечения стержней, вычисленных по максимальному изгибающему моменту. При этом в каждом плоском сварном каркасе не менее одного продольного стержня должно быть заведено за грань опоры.

За грань опоры заводят по одному стержню диаметром 14 мм в каждом каркасе К-I, всего A_s1 =2·1,54=3,08 см². Высота сжатой зоны сечения

Момент воспринимаемый сечением с арматурой 2Ø14А-III,

M_y=R_sA_s1z_b=365(100)3,08·34,6=3 890 000 Н·м=38,9 кН·м,

где z_b=h₀ – 0,5x=35 – 0,5·0,75=34,6 см.

Определяем место теоретического обрыва продольной арматуры из условия:

M_y=Q_y – 0,5qy²=0,5ql₀y – 0,5qy²;

38,9=48,3y – 0,5·17,26y²;

8,63y² – 48,3y+38,9=0;

y₁=0,96 м, y₂=4,62 м.

Обрываемые стержни заводят за грань теоретического обрыва на длину ω, согласно эпюре изгибающих моментов. Значение ω по нормам принимают равным большему из двух следующих значений:

где Q_y=Q(1-2y₁/l₀)=48,3(1-2·0,96/5,9)=32,5 кН – из подобия треугольников эпюры поперечных сил Q_s,inc=0, ввиду отсутствия отогнутой арматуры;

по формуле определяем:

q_sw=R_swA_sw / s=175·0,283(100)/15=662 Н/см;

принимаем ω=32 см.

Расчет плиты панели.Плита (полка) панели является трехпролетной неразрезной, опертой по контуру на продольные и поперечные ребра. Отношение длинной стороны l₂ и короткой l₁ в чистоте между ребрами:

l₂/l₁=(1790-110)/(1160-2·100)=1,75<2.

Определение нагрузок и усилий.Собственный вес конструкции пола по табл. 3.4: нормативный 300+1000+400=1700 Н/м²; расчетный 330+1200+520=2050 Н/м².

Собственный вес плиты: нормативный 0,06·25 000=1500 Н/м²; расчетный 1500·1,1=1650 Н/м².

Суммарная равномерно распределенная нагрузка: полная нормативная (gn+pn)=1700+1500+8000=11200Н/м²; полная расчетная (g+p)=2050+1650+9600=13 300 Н/м²; нормативная постоянная и длительная временная (gⁿ_ld+pⁿ_ld)=1700+1500+5000=8200 Н/м².

Вычисляем изгибающие моменты методом предельного равновесия. Моменты в среднем поле неразрезной плиты при l₂/l₁=1,5 2 можно принять:

;

Из основного уравнения равновесия плит

принимая коэффициент , которым учитывается влияние распора в зависимости от жесткости окаймляющих ребер и отношения l₂/l₁,для принятых соотношений моментов находим момент M₁ на полосу шириной 1 м в направлении короткой стороны (при γ_n=0,95):

то же, в направлении длинной стороны:

Крайние поля неразрезной плиты как окаймленные со всех сторон ребрами рассматриваются аналогично среднему полю, и так как отношения сторон в них по чти равны l₂/l₁ среднего поля, то изгибающие моменты принимаем по среднему полю.

Определяем площадь сечения арматуры на 1 м плиты в направлении короткой стороны при h₀=h-a=6 – 1,5=4,5 см:

где - для арматуры класса Вр-I диаметром 3 мм. Принимаем рулонную сетку 5 из проволоки класса Вр-I диаметром 3 мм шириной 1100 мм с поперечной рабочей арматурой см² при шаге s=200 мм; сетка раскатывается вдоль длинной стороны с отгибом на опорах в верхнюю зону.

В направлении длинной стороны A_s2=0,5A_s1=0,158 см²; из конструктивных соображений принято A_s2=A_s1=0,36 см².

Для восприятия опорных моментов (по длинной стороне), величина которых равна M₁, укладываем конструктивно сетки 3 шириной 500 мм из Ø3 Вр-I с перегибом на продольном ребре. Поперечные стержни сеток 3 перепускают в плиту на длину 0,2 l₁=200 мм.

Расчет поперечного ребра панели. Определение нагрузок и усилий.Максимальная нагрузка на среднее поперечное ребро передается с треугольных грузовых площадей A_c=0,5l²₁.Расчетная схема поперечного ребра представляет собой балку с защемленными опорами, нагруженную треугольной нагрузкой с максимальной ординатой q₁ и собственным весом q_c. Треугольную нагрузку допускается заменить на эквивалентную равномерно распределенную по формуле q_e=5/8q₁.

q₁=(g+p)(l₁+b_p)=13 300(0,96+0,085)=13 900 Н/м,

где b_p=(11+6)/2=8,5 см – средняя толщина поперечного ребра;

q_c=b_p(h_p – h^/_f)ργ_f=0,085(0,2-0,06)25 000·1,1=330 Н/м,

Суммарная равномерно распределенная нагрузка

q=q_e+q_c=(5/8)13 900+330=9030 Н/м.

С учетом развития пластических деформаций изгибающие моменты в пролете M_c и на опоре можно определять по равномоментной схеме (M_c= =M):

M=ql²₁/16=9030·0,96²/16=520 Н·м.

Расчет продольной арматуры. В пролете поперечное ребро имеет тавровое сечение с полкой в сжатой зоне. Расчетная ширина полки b^/_f=b_p+2l₁/6=8,5+2·96/6=49 см и b^/_f= b_p+12h^/_f=8,5+12·6=80,5 см; принимаем меньшее значение b^/_f=40 см; высота ребра h=20 см и рабочая высота h₀=h-a=20 – 2,5=17,5 см

A₀=M/b^/_f h²₀R_bγ_b2=52 000/40·17,5²·14,5(100)0,9=0,00325,

что меньше минимального значения A₀, по табл.2.12 принимаем :

A_s=M/ɳ₀R_s=52 000/17,5·225(100)=0,132 см²;

принимаем из конструктивных соображений Ø6 А-I, A_s=0,28 см²; арматуру в верхней зоне и поперечные стержни также принимаем из арматуры Ø6 мм; шаг поперечных стержней 150 мм. Из арматуры Ø6 А-I выполняют каркас 2 в крайних поперечных ребрах.

Расчет панели по деформациям (прогибам).Изгибающий момент в середине пролета равен: от полной нормативной нагрузки Mⁿ=61 кН·м; от нормативной постоянной и длительной временной нагрузок Mⁿ_ld=46 кН·м и от кратковременной нагрузки Mⁿ_cd=14, 9 кН·м.

Определяем геометрические характеристики приведенного сечения панели:

α=E_s /E_b=2 ·10⁵/0,27·10⁵=7,4;

Вычисление прогиба панели приближенным методом.Проверяем условие, определяющее необходимость вычисления прогибов при l/h₀=590/35=17>10:

l/h₀ λ_lim,

по табл.2.20 при μα=0,072 и арматуре из стали класса А-III находим λ_lim=18,5/(1/200)/(2,5/590)=15,5 (здесь выражение в скобках учитывает разницу в прогибе 1/200 и 2,5 см= l/236)

590/35=17> λ_lim=15,5,

т.е. расчет прогибов требуется.

Прогиб в середине пролета панели по формуле

f_tot=Sl^2·1/r_c=5/48·590²(1/r_c),

где 1/r_c – кривизна в середине панели при учете постоянных и длительных нагрузок равна

здесь коэффициенты =0,48 и =0,125 приняты по табл.2.19 в зависимости от μα=0,072≈0,07 и φ_f(γ)=0,93 (по интерполяции) для тавровых сечений с полкой в сжатой зоне; f_tot=5/48·590²·10^-5=2,2 см< =2,5 см – для ребристых перекрытий по эстетическим требованиям (таблица 7)

Таблица 7 – Значения коэффициентов k₁, k₂ и k₃

Определение прогиба по точным формулам.Вначале проверяют условие M_r M_crc, при соблюдении которого нормальные трещины в наиболее нагруженном сечении по середине пролета не образуются. Момент от полной нормативной нагрузки Mⁿ=61 кН·м. Момент трещинообразования M_crc вычисляют по формуле, принимая M_rp=0:

M_crc=R_bt,serW_pl, где W_pl=γW_red.

По прил. VI для тавровых сечений с полкой в сжатой зоне γ=1,75, а упругий момент сопротивления сечения для растянутой грани сечения

W_red=I_red /y₀; y₀=S_red /A_red.

Для вычисления I_red и y₀ определяем площадь приведенного сечения:

A_red=A+αA_s=116·6+18·34+6,16·7,4·5=1354 см².

Статический момент площади приведенного сечения относительно нижней грани ребра:

S_red=S₀+αS_s=116·6·37+18·34·17+6,16·7,4·5=36 470 см³.

Расстояние от центра тяжести площади приведенного сечения до нижней грани ребра:

y₀= S_red /A_red=36 470/1354=27 см;

h – y₀=40 – 27=13 см.

Момент инерции приведенного сечения относительно центра тяжести сечения

I_red=I+αA_sy²_s=116·6³/12+116·10²+18·34³/12+18·34·10²+7,4·6,16·22²=

=206 300 см⁴;

где y_s=y₀-a=27 – 5=22 см; в формуле слагаемые с A_sp, A^/_sp и A^/_s исключены, так как A_s=0; A^/_sp=0, а A^/_s не учтены ввиду малости.

Момент сопротивления:

W_red=I_red /y_o=206 300/ 27=7650 см³;

W_pl=γW_red=1,75·7650=13 400 см³.

Момент трещинообразования

M_crc=R_bt,serW_pl=1,6(100)13 400=21,4·10⁵ Н·см=21,4 кН·м,

что меньше Mⁿ=61 кН·м, следовательно, трещины в растянутой зоне сечения по середине пролета образуются. Необходимо выполнять расчет прогибов с учетом образования трещин в растянутой зоне. Кроме того, требуется проверка по раскрытию трещин.

Полная кривизна 1/r для участка с трещинами по формуле:

1/r=1/r₁ – 1/r₂+1/r₃

и соответственно полный прогиб панели f_tot=f₁ – f₂+f₃, где f₁ – прогиб от кратковременного действия всей нагрузки; f₂ – то же, от действия только постоянных и длительных нагрузок; f₃ – прогиб от длительного действия постоянных и длительных нагрузок.

Вычисление f₁. Для середины пролета панели M_r=Mⁿ=61 кН·м. Для определения кривизны дополнительно вычислим:

Относительная высота сжатой зоны в сечении с трещиной по

что меньше h^/_f /h₀=6/35=0,172 и меньше 2a^/ /h₀=5/35=0,143; сечения рассчитывают как прямоугольные шириной b^/_f =116 см; принимаем без учета арматуры A_s^/ в формулах для определения λ, φ_f и z₁ значение h^/_f =0:

Плечо внутренней пары сил по формуле при

Определяем коэффициент ψ_s по формуле:

ψ_s=1,25 – φ_lsφ_m=1,25 – 1,1·0,35=0,87<1,

где

φ_m=R_bt,serW_pl /Mⁿ=1,6(100)(13 400 /61·10⁵)=0,35;

φ_ls=1,1

Кривизна 1/r₁ в середине пролета панели при кратковременном действии всей нагрузки по формуле и ψ_b=0,9; ν=0,45:

Прогиб f₁ по формуле

Вычисление f₂·M_ld=46 кН·м. Заменяющий момент M_r=M_ld=46 46 кН·м:

по данным расчета f₁ принимаем:

ψ_s=0,87; ψ_b=0,9; ν=0,45;

Прогиб f₂

Вычисление f₃. Кривизну 1/r₃ при длительном действии постоянной и длительной нагрузок определяем с использованием данных расчета кривизны 1/r₁ и 1/r₂: M_r=M_ld=46 кН м; 0,087; z₁=33,5 см; φ_m=0,35. Коэффициент ν=0,15.

Коэффициент ψ_s при φ_ls=0,8: ψ_s=1,25 – φ_ls φ_m=1,25-0,8·0,35=0,97<1.

Кривизна 1/r₃ в середине пролета панели

Прогиб f₃

Суммарный прогиб f_tot=f₁ – f₂+f₃=1,76-1,31+2,05=2,5 см < =1/150l=

=3,9 см по конструктивным требованиям и f_lim=2,5 см – по эстетическим требованиям.

Расчет панели по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси. Согласно данным табл.2.9, ребристая панель перекрытия относится к третьей категории трещиностойкости. Предельно допустимая ширина раскрытия трещин составляет a_crc1=0,4 мм и a_crc2=0,3 мм.

По формуле ширина раскрытия трещин

где =1; =1; =(1,5 – 15 ); =1; δ_a=1 (так как a₂=3 см < 0,2 h=0,2·40=8 см); d=14 мм; =A_s /bh₀=6,16/18·35=0,0098<0,02.

Расчет по длительному раскрытию трещин. Ширину длительного раскрытия трещин определяют от длительного действия постоянных и длительных нагрузок. Изгибающий момент в середине пролета панели M_ld=46 кН·м. Напряжение в растянутой арматуре

Так как растянутая арматура в ребрах расположена в два ряда, то напряжение σ_s необходимо умножить на поправочный коэффициент δ_n (по СНиП 2.03.01 – 84).

где x= h₀=0,087·35=3,05 см; a₂=3 см – расстояние от нижней грани сечения до центра тяжести нижнего ряда продольной арматуры; a₁=5 см – уточненное расстояние от нижней грани сечения до центра тяжести всей растянутой арматуры A_s.

При длительном действии нагрузок принимаем φ_l=1,6 – 15μ=1,6 – 15·0,0098=1,453. Коэффициент:

Расчет по кратковременному раскрытию трещин. Ширину кратковременного раскрытия трещин определяют как сумму ширины раскрытия от длительного действия постоянных и длительных нагрузок a_crc3 и приращения ширины раскрытия от действия кратковременных нагрузок (a_crc1 – a_crc2):

a_crc=( a_crc1 – a_crc2)+ a_crc3,

где a_crc3=0,2 мм.

Напряжение в растянутой арматуре при кратковременном действии всех нормативных нагрузок

Напряжение в растянутой арматуре от действия постоянных и длительных нагрузок

Приращение напряжения при кратковременном увеличении нагрузки от длительно действующей до ее полной величины составляет

Δσ_s=σ_s1 – σ_s2=296-223=73 МПа

Приращение ширины раскрытия трещин при φ_l=1 по формуле

Суммарная ширина раскрытия трещин

a_crc,tot=0,2+0,046=0,25 мм < =0,4 мм.

Затем выполняют расчет панели по раскрытию наклонных трещин, а также расчет панели в стадии изготовления, транспортирования и монтажа.