Средняя ошибка аппроксимации

Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений зависимой переменной от фактических:

Допустимый предел значений A – не более 8-10 %.

Пример 2.5. Построим регрессионные зависимости: а) расходов на питание (y) и личным доходом (x); б) расходов на питание (y) и временем (t) по следующим данным (усл. ед.):

и оценим качество подгонки.

а) Пусть истинная модель описывается выражением y = a + b x + e.

По выборочным наблюдениям определяем оценки (a; b).

Исходные данные и расчетные показатели представим в виде следующей расчетной таблицы:

Год	X	Y	X2	Xy
					-0,2		38,44	1,44
					2,9		9,61	0,81
					9,1		9,61	3,61
					12,2		38,44	0,04
Итого							96,1	9,9
Сред.				84,8		21,2	19,22	1,98

Окончательно имеем:

Cледовательно, .

Коэффициент b = 0,775 показывает, что при увеличения дохода на 1 усл. ед расходы на питание увеличиваются в среднем на 0,775 усл. ед.

Замечание.В Excel оценки (a, b) можно также определить с помощью функций:

а = ОТРЕЗОК(массив y; массив x), b = НАКЛОН(массив y; массив x).

Условие выполняется.

Качество подгонки оцениваем коэффициентом детерминации:

, т.е. 90,7 % вариации зависимой переменной (расходы на питание) объясняется регрессией.

Значимость коэффициента R² проверяем по F-тесту

.

Произведем проверку значимости R² двумя способами.

1. При α = 0,05, n₁= 1 и n₂ = 3 по таблице или с помощью функции FРАСПОБР(α; n₁; n₂) находим F_кр = 10,13. Поскольку F = 29,2 > F_кр = 10,13, то R² = 0,952 значим при 5 % уровне.

2. Наблюдаемому (расчетному) значению критерия F = 29,2 соответствует значимость F =0,0124, которую можно определить в Excel с помощью функции FРАСП(F; n₁; n₂).

Поскольку значимостьF = 0,0124 < 0,05, то R² значим при уровне 5 %.

б) Пусть истинная модель y = a + b t + e, (модель временного ряда). Выборочная регрессия , где t – время, определяемое как t = 1 для 1990 г., t = 2 для 1991 г. и т.д.

Представим исходные и расчетные показатели в виде расчетной таблицы:

Год	t	Y	t2	ty
					–0,2
					2,9
					9,1
					12,2
Итого
Среднее				24,2

Окончательно имеем

, следовательно, .

Коэффициент b = 3,1 показывает, что за год расходы на питание в среднем возрастают на 3,1 единиц.

Пример 2.6. Покажем, что в модели регрессии без свободного члена

Y = b X + e оценка МНК дляbесть:

.

Выборочная регрессия для этой модели есть . Наблюдаемые значения зависимой переменной связаны с расчетными уравнением . Оценку b найдем из минимизации величины:

.

Запишем необходимые условия экстремума:

, откуда .

Вычисление R² при отсутствии свободного члена некорректно; при этом не выполняется условие .

Пример 2.7. Покажем, что в модели регрессии Y = a + e оценка МНК для a есть: .

Выборочная регрессия для заданной модели есть . Наблюдаемые значения зависимой переменной связаны с расчетными значениями уравнением: . Оценку a найдем из минимизации величины

.

Запишем необходимые условия экстремума:

откуда

Выборочная регрессия .