Минимизация частично определенных функций

Пусть функция f(x1,…,xn) частично (не всюду) определена. Если f не определена на p наборах из 0 и 1, то существует 2p возможностей для доопределения функции f. Полностью определенная функция g (x1,…,xn) есть доопределение функции f, если g совпадает с f на тех наборах из 0 и 1, на которых f определена.

Задача минимизации частично определенной функции f сводится к отысканию такого доопределения g функции f, которое имеет простейшую (по числу букв ) минимальную форму.

Обозначим через f0(x1,…,xn) и f1(x1,…,xn) доопределения нулями и единицами соответсвенно частично определенной функции f(x1,…,xn).

Теорема.Минимальная ДНФ частично определенной функции f(x1,…,xn) есть дизъюнкция самых коротких импликант в сокращенной ДНФ доопределения f1(x1,…,xn), которые в совкупности накрывают все конституенты единицы доопределения f0(x1,…,xn).

Доказательство. Рассмотрим СДНФ некоторого доопределения g(x1,…,xn) функции f(x1,…,xn). Конституенты единицы, входящие в эту форму, войдут и в СДНФ доопределения f1. Поэтому любой простой импликант функции g будет совпадать с некоторым импликантом функции f1 или накрываться им. Самые короткие импликанты , накрывающие единицы функции f , есть импликанты функции f1. Доопределение f0 имеет минимальное количество конституент единицы в своей СДНФ , следовательно , и количество простых импликант функции f1 , потребных для накрытия этих конституент , будет наименьшим . ДНФ , составленная из самых коротких простых импликант в сокращенной ДНФ функции f1 , накрывающих все конституенты единицы функции f0 , будет самой короткой ДНФ, доопределяющей функцию f .

Так как единицы функции f1 составлены из единиц функции f и единиц на наборах , на которых f не определена , то построенная ДНФ , накрывая все единицы функции f0 ( а , следовательно , и все единицы функции f ) , совпадает с минимальной ДНФ некоторого доопределения g функции f .

 

Алгоритм минимизации частично определенных функций

В классе ДНФ

1. Строим СДНФ функции f0 .

2. Строим сокращенную ДНФ функции f1 .

3. С помощью матрицы покрытий коституент единицы функции f0 простыми импликантами функции f1 и решеточного выражения строим все тупиковые ДНФ (для некоторых доопределений функции f ) .

4. Среди полученных ТДНФ выбираем простейшие, они являются минимальными ДНФ ( для некоторых доопределений функции f ) .

 

Алгоритм минимизации частично определенных функций

В классе КНФ

Построение минимальных КНФ для частично определенной функции аналогично построению минимальных КНФ для всюду определенной функции.

Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе нормальных форм аналогичен алгоритму минимизации в классе нормальных форм для всюду определенных функций.

Пример 1.В классе нормальных форм минимизировать частично определенную функцию f ( x, y, z, t ) = (1---010010-01--1)

Решение. Минимизируем функцию f в классе ДНФ.

1. Строим сокращенную ДНФ для доопределения единицами f1 функции f по таблице 3.9.

Таблица 3.9

x y z t f f0 f1 `f h0 h1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 1 1 1 0 0 0

2. Строим матрицу покрытий коституент единицы в СДНФ для доопределения нулями f0 функции f с помощью построенной сокращенной ДНФ для f1 ( таблица 3.10).

Таблица 3.10

N ПИ
      + +
+        
    + +  
+   +    
  +      
  +      

3. По таблице строим решеточный многочлен

E = (2Ú4)(5Ú6)(3Ú4)(1Ú3)1 = 145 Ú 125 Ú 146 Ú 1236.

4. Строим все тупиковые ДНФ :

5. Из построенных тупиковых ДНФ выбираем минимальные :

Функции g1 и g3 есть минимальные доопределения функции f в классе ДНФ.

Минимизируем теперь функцию f в классе КНФ. Для этого проведем минимизацию функции `f в классе ДНФ Пусть h0 и h1 есть доопределение нулями и единицами соответственно функции `f .

Сокращенная ДНФ для

Матрица покрытия конституент единицы в СДНФ для h0 с помощью простых импликант в сокращенной ДНФ для h1 приведена в таблице 3.11.

Таблица 3.11

N ПИ
      + +
  + +    
  +      
      +  
+ +      
        +

 

3. Решеточное выражение E=5 (2 Ú 3 Ú5) 2 (1Ú 4)(1Ú 6) = 25(1Ú 46) = 125 Ú 2446.

4. Строим две тупиковые ДНФ:

и

Минимальная.

5. Функция есть минимальное доопределение функции f в классе КНФ.

Найденные МДНФ g1 , g3 и МКНФ являются минимальными доопределениями функции f в классе нормальных форм.

Техническая реализация минимальных форм для функции часто проще, а потому дешевле реализации ее СДНФ ( СКНФ ) . Следовательно, этап минимизации при конструировании логических схем является одним из важнейших.

 








Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 2118;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.