ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ. ЛОГИКА СПОРА

Доказательство –рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже доказана.

Доказательство слагается из серии шагов и представляет собой еди­ную конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Минимальное требование – это понимание логического вы­ведения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае достигается интуитивная ясность того, что мы делаем.

То, что создает «единство доказательства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, вопло­щающей в себе его принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства.

С точки зрения общего движения мысли все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыс­кать такие убедительные аргументы, из которых по логическим пра­вилам получается тезис.

В построении прямого доказательства можно выделить два свя­занных между собой этапа: отыскание тех признанных обо­снованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логичес­кой связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

Косвенное доказательство. Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения (антитезиса). В косвенном доказатель­стве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если антитезис ошибочен, значит, тезис верен.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание до­казываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать особенной убедительностью.

Виды косвенных доказательств.В зависимости от того, как решается последняя задача, можно выделить несколько разновидностей кос­венного доказательства.

Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Следствие антитезиса, а зна­чит, и он сам опровергаются ссылкой на очевидное обстоятель­ство.

Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону противоречия одно из двух противо­речащих друг другу утверждений ложно. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу сказать, что это по­ложение ложно. Например, положение «Квадрат – это окружность» ложно, по­скольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов. Ложным будет также положение, из которого выводится внут­ренне противоречивое высказывание или высказывание о тождестве утверждения и отрицания.

Выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит про­тиворечие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание – тезис доказа­тельства – верно.

Хорошим примером косвенного доказательства служит извест­ное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится ло­гическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится абсурд, т. е. логическое противоречие.

Разделительное доказательство. Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

Можно не ограничивать число принимаемых во внимание воз­можностей только двумя. Это приведет к так называемому раз­делительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчер­пывающих все возможные альтернативы данной области. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исклю­чаются все возможности, кроме одной, которая и является дока­зываемым тезисом.

В разделительном доказательстве взаимная несовместимость воз­можностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтерна­тивы, определяются не логическими, а фактическими обстоятель­ствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет со­бой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из анти­тезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна.

Косвенное доказательство – хорошее орудие исследования, но оно не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный совет: после того как косвенное доказательство проведено, ход его полезно тут же забыть, оставив в памяти только доказанное положение.

Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона иск­люченного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальным, применимым в любых без исключения случаях.

Можно отметить, что найденное косвенное доказательство ка­кого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказа­тельство этого же утверждения. Обычно, но не всегда.

Опровержениепредставляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.

Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.

Наиболее распространенный прием опровержения – выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.

Другой прием установления несостоятельности выдвигаемого кем-либо положения – доказательство справедливости отрицания этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновре­менно истинными. Как только удается показать, что верно отрица­ние рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого положения автоматически отпадет. Достаточно, скажем, по­казать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.

Ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противо­поставляется его отрицание: есть, по крайней мере, одно убеждение, что убеждений нет. Особенность этого случая в том, что отрицание вытекает из самого исходного положения и не требует специально­го обоснования.

Эти два приема применимы для опровержения любого утвер­ждения, независимо от того, поддерживается оно какими-либо аргументами или нет. Выводя из утверждения неверное следствие или показывая справедливость отрицания утверждения, мы тем самым доказываем ложность самого утверждения. И какие бы аргу­менты ни приводились в защиту последнего, они не составят его доказательства. Доказать, как известно, можно только истинное утверждение.

Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, опе­рация опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибоч­ны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несо­стоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргу­ментам.

Следует иметь в виду, что опровержение доводов, приводимых в поддержку какого-либо положения, не означает еще не­правильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути верным, может отстаиваться с помощью ошибочных или слабых доводов. Выявляя это, мы демонстрируем именно нена­дежность предлагаемого обоснования, а не ложность утверждения. Неопытный спорщик, как правило, отказывается от своей пози­ции, обнаружив, что приводимые им доводы неубедительны. Нуж­но, однако, помнить, что правильная в своей основе идея иног­да подкрепляется не очень надежными, а то и просто ошибоч­ными соображениями. Когда это выясняется, следует искать дру­гие, более веские аргументы, а не спешить отказываться от самой идеи.

Мало раскритиковать аргументы оппонента в споре. Этим будет показано только то, что его позиция плохо обоснована и шатка. Чтобы вскрыть ее ошибочность, надо убедительно обосновать про­тивоположную позицию. Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или со­мнительным утверждениям оппонента, – самый надежный и успеш­ный способ опровержения. Реальное явление или событие, не со­гласующееся со следствиями какого-либо универсального положе­ния, опровергает не только эти следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь. При опровержении ошибоч­ных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций «уп­рямство фактов» проявляется особенно ярко.

Опровержение может быть направлено на саму связь аргумен­тов и доказываемого положения. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его обоснование. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью указанных аргументов. Из этого не следует, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Ошибки в доказательстве.Доказательство – это логическая, дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в до­казательстве можно разделить на относящиеся к тезису, к аргумен­там и к их связи.

Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из при­нятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют – «не вытекает».

Встречаются хаотичные аморфные рассуждения. Внешне они имеют форму доказательств и даже пре­тендуют на то, чтобы считаться ими. В них есть слова «таким об­разом», «следовательно», «значит» и подобные им, призванные ука­зывать на логическую связь аргументов и доказываемого положения. Но эти рассуждения доказательствами на самом деле не являются, поскольку логические связи подменяются в них психологическими ассоциациями.

Ошибки в отношении тезиса. Характерная ошибка в отношении тезиса – подмена тезиса, нео­сознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

Тезис может сужаться, и в таком случае он остается недока­занным. Например, для доказательства того, что сумма углов тре­угольника равна двум прямым, недостаточно доказать, что эта сумма не больше 180°. Для обоснования того, что человек должен быть честным, мало доказать, что разумному человеку не следует лгать.

Тезис может также расширяться. В этом случае нужны до­полнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться. Обычно она затемняется какими-либо обстоятельствами, связанными с конкретной ситуацией, и благодаря этому ускользает от внимания. Широкую известность получил случай с древнегреческим фи­лософом Диогеном, которого однажды за подмену тезиса спора даже побили. Один философ доказывал, что в мире, как он пред­ставляется нашему мышлению, нет движения, нет многих вещей, а есть только одна-единственная вещь, притом неподвижная и круглая. В порядке возражения Диоген встал и начал не спеша ходить перед спорящими. За это его, если верить некоторым старым источникам, и побили палкой.

Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частая ошибка – это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов. Довольно распространенной ошибкой является круг в доказа­тельстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в не­сколько иной форме. Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: оно прозрачно. Но назвать вещество прозрачным – значит сказать, что сквозь него можно видеть.

Логика спора.Спор – столкновение мнений, позиций, в ходе которого каждая из сторон аргументировано отстаивает свое понимание обсуждаемых проблем, и стремится опровергнуть доводы другой стороны. Спор представляет собой важное средство прояснения и раз­решения вопросов, вызывающих разногласия, лучшего понимания того, что не является в какой-то мере ясным и не нашло еще убедительного обоснования. Если даже участники спора не прихо­дят в итоге к согласию, в ходе спора они лучше уясняют как позиции другой стороны, так и свои собственные.

Изучение споров.Искусство ведения спора называется эристикой. Эристика получила большое распространение в Древней Гре­ции в связи с расцветом политической, судебной и моральной полемики. Первоначально эристика понималась как средство отыс­кания истины и добра с помощью спора, она должна была учить умению убеждать других в правильности высказываемых взглядов и, соответственно, умению склонять человека к тому поведению, которое представляется нужным и целесообразным. Но постепенно эристика выродилась в обучение тому, как вести спор, чтобы до­стигнуть единственной цели – выиграть его любой ценой, совер­шенно не заботясь об истине и справедливости. Эристика распалась на диалектику и софистику. Первая раз­вивалась Сократом, впервые применившим слово «диалекти­ка» для обозначения искусства вести эффективный спор, диалог, в котором путем взаимозаинтересованного обсуждения проблемы и противоборства мнений достигается истина. Софистика же, ставив­шая целью спора победу в нем, а не истину, существенно ском­прометировала саму идею искусства спора.

Четыре разновидности спора.То, что называется общим именем «спор», имеет несколько вариантов.