V. Исчисление высказываний.

Наибольший интерес представляет построение формальной системы, которая среди всех возможных ППФ высказываний выделяет такие, которые являются логическими законами (правильно построенными рассуждениями, логическими умозаключениями, тавтологиями, общезначимыми высказываниями).

Формальная система, порождающая высказывания, которые являются тавтологиями и только их, называются исчислением высказываний (ИВ). Выше было показано, что любая формула высказываний (в том числе и тавтология) может быть приведена к структуре рассуждения (умозаключения), «если Р, то S».

Общезначимые

высказывания (тавтологии)

Формулы в ИВ считаются выводимыми из аксиом. В каждом выводе из тавтологий выводятся тавтологии. Обозначение: ⊦ ; интерпретация: из выводимо .

Формальная система ИВ определяется:

Формулы – аксиомы являются тавтологиями. Правила вывода в виде также являются тавтологиями.

На сегодняшнее время известно »20 ИВ, которые отличаются друг от друга аксиомами (схемами аксиом) и правилами выводов. Все ИВ обладают 1) свойством полноты – (в них выводимы все тавтологии и только они) 2) набор аксиом обладает минимальной полнотой ( т.е. удаление хотя бы одной аксиомы из набора делает ИВ неполной).

Два примера:

1) ИВ Уйтхеда и Рассела (1920¸1930, Англия).

Аксиомы

А1. (А Ú А) ® А – закон тавтологии