Импликация. Эквивалентность высказываний.

Математические термины "импликация" и "эквивалентность" произошли от латинских слов "implico" - связываю и "aquivalens" - равноценное, равнозначное.

1. Импликацией двух высказываний а и b называется такое высказывание а→ b (читается "из а следует b" или "если а, то b"), которое ложно тогда и только тогда, когда а истинно, а b - ложно. Таблица истинности для импликации имеет следующий вид:

Попробуем на примерах разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания а:(Сейчас хорошая погода) и b:(Я пойду гулять). Импликация а→b в этом случае означает: "Если сейчас хорошая погода, то я пойду гулять". Когда высказывания а и b истинны, то истинно и высказывание а→b. Но также ясно, что если сейчас плохая погода и я пойду гулять, либо откажусь от прогулки, то меня никак нельзя назвать лжецом (никакого противоречия не возникает). Поэтому импликация а→b и в этих случаях истинна. Единственным вариантом, когда импликация а→b ложна, является истинность высказываний а и ложность высказывания b.

Высказывание а называют условием (или посылкой), а b - заключением (следствием). Существует немало синонимов для связки "если .., то ,..", например:

- из а следует b;

- а влечет за собой b,

- как только а, то b;

- а достаточное условие b,

Разберем один пример из книги Х.Фрейденталя. Рассмотрим готовую импликацию а→b:(Если некоторый поезд прибывает на данную станцию, то подается сигнал "путь закрыт"). Кстати, эту же импликацию можно сформулировать и так: (Как только некоторый поезд прибывает на данную станцию, то подается сигнал "путь закрыт"). Здесь а:(Некоторый поезд прибывает на данную станцию) и b:(Подается сигнал "путь закрыт"). Для наглядности используем такую таблицу.

Мы видим, что импликация истинна, если:

а) поезд прибывает, сигнал "путь закрыт";

б) поезд не прибывает, сигнал "путь открыт";

в) поезд не прибывает, сигнал "путь закрыт".

Ведь в тексте ничего не говорится о том, какой сигнал надо подавать, если поезд не прибывает (путь можно закрыть и по другой причине, аварии не будет).

Импликация ложна лишь тогда, когда'

г) поезд прибывает, сигнал "путь открыт".

2. Эквивалентностью двух высказываний а и b называется такое высказывание а↔b, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания а и b либо истинны, либо оба - ложны. Читается запись а↔b так: "а тогда и только тогда, когда b" или "Для того, чтобы а, необходимо и достаточно, чтобы b). Таблица истинности эквивалентности такова:

Проиллюстрируем ее на примере планиметрии: "Для того, чтобы некото-эый параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его циагонали были взаимно перпендикулярны". Здесь высказывание а^Некоторый параллелограмм - ромб) и Ь:(Диагонали некоторого параллелограмма взаимно перпендикулярны). Формулировка этой теоремы заключает в себе две импликации:

1) если некоторый параллелограмм - ромб, то его диагонали взаимна перпендикулярны (импликация а↔b);

2) если диагонали некоторого параллелограмма взаимно перпендикуляр­ны, то такой параллелограмм - ромб (обратная импликация b↔а, которая получается из а↔bперестановкой условия и заключения местами).

В связи с этим эквивалентность иногда называют двойной импликацией Если оба высказываний а и b - истинны, то и обе импликации истинны и следовательно, эквивалентность а↔Ь истинна. Если одно из высказываний ложно, а другое истинно, то одна из импликаций будет истинна, другая – ложна. Поэтому эквивалентность а↔Ь в этих случаях будет ложна. Если же об. высказывания а и b - ложны, то обе импликации будут истинны и поэтому эквивалентность а↔bЬ будет истинной. Так, например, будет истинной такая эквивалентность: "2*2=5 тогда и только тогда, когда параллельные прямые пересекаются".