Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.

Названия логических операций "конъюнкция" и "дизъюнкция" произошли - от латинских слов "conjunctio" - связь, союз, и "disjunctio" - различие.

1. Конъюнкцией двух высказываний а и b называется такое высказывание ало (читается "а и b"), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания. Это определение распространяется и на любое конечное число высказываний. Таблица истинности а٨Ь выглядиг так:

Поясним данное определение на примерах. Высказывание "Число 2 четное и простое" сложное, оно состоит из двух высказываний: а:(Число 2 - четное) и b:(Число 2 - простое), связанных союзом "и". Оба эти высказывания истинны. Истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция высказываний а и b. А вот высказывание "Число 12 четное и простое" является ложным. Оно есть конъюнкция двух высказываний а:(Число 12 четное) и, b:(Число 12 простое). Первое высказывание истинно, а второе ложно, поэтому ложным является также и их конъюнкция. Примером конъюнкции высказываний может служить также двойное неравенство, например, 3<6<7. Такое неравенство считают истинным лишь в том случае, когда истинны оба входящие в него неравенства, в нашем случае это 3<6 и 6<7. Двойное же неравенство 3<6<4 ложно, гак как хота 3<6 истинно, но 6<4 ложно. Конъюнкцией является и высказывание "Диагонали любого ромба перпендикулярны и делят углы при вершинах ромба пополам".

2. Дизъюнкцией двух высказываний а и b называется высказывание avb (читается "а или b"), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Это определение легко распространяется на любое конечное число высказываний. Определение дизъюнкции двух высказываний может быть выражено следующей таблицей истинности:

Примером дизъюнкции двух высказываний является следующий: сложное высказывание "Завтра на уроке математики будет контрольная или самостоятельная работа" есть дизъюнкция высказываний "Завтра на уроке математики будет контрольная работа" и "Завтра на уроке математики будет самостоятельная работа". Можно рассмотреть и такой пример: высказывание "Если последняя цифра числа равна 0 или 5, это число делится на 5" есть дизъюнкция высказываний "Если последняя цифра числа равна 0, то эта число делится на 5" и "Если последняя цифра числа равна 5, то это число делится на 5", Примером дизъюнкции высказываний может служить нестрогое неравенство, например 3£7. Такое неравенство считается истинным, если истинно хотя бы одно из входящих а него высказываний 3<7, 3=7. Является дизъюнкцией и высказывание "Данный четырехугольник является прямоугольником или ромбом". Здесь могут оказаться истинными оба высказывания (если четырехугольник является квадратом).

Замечание. В обыденной речи союз "или" имеет два различных значения - разделительное и неразделительное. Например, если сказать: ''Завтра в 12 часов дня я буду в техникуме или на катке", то не может быть, чтобы оба обещания оказались выполнены: человек не может быть одновременно в двух местах. Здесь союз "или" разделительный. Но если сказать: "Я буду на катке завтра в 2 часа дня или в 6 часов вечера", то отнюдь не исключено, что сбудется и то и другое - человек может посетить каток дважды в один и тот же день. Здесь тот же союз понимается в неразделительном смысле.

Употребление и других связок и частиц в нашей речи не подчинено строгим правилам, из-за чего возможны разные толкования одного и того же предложения. В математической логике смысл каждого слова четко определен, и чтобы обыденное толкование слов не влияло на их употребление, сами связки заменяются особыми знаками. В определении дизъюнкции союз "или" имеет всегда лишь неразделительное значение, и это подчеркивается особым знаком v.