Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение
При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины T, а не сама эта величина.
Логарифмически нормальное распределение во многом более точно, чем нормальное описывает наработку до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например, подшипников качения, электронных ламп и пр.
Если величина lg t имеет нормальное распределение с параметрами: МО U и СКО V, то величина T считается логарифмически нормально распределенной с ПРО, описываемой:
(7) |
Параметры U и V по результатам испытаний принимаются:
(8) |
(9) |
где и - оценки параметров U и V.
Показатели надежности можно рассчитать по приведенным в лекции 6 выражениям, пользуясь табулированными функциями f(x) и, соответственно, F(x) и (x) для нормального распределения при x = (lg t - U) / V.
Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 2.
Числовые характеристики наработки до отказа:
- средняя наработка (МО наработки) до отказа
(10) |
- дисперсия наработки до отказа
(11) |
Рис. 2
3. Гамма–распределение
Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами (масштабный параметр) и (параметр формы), где , > 0, причем – целое число, если ее ПРО описывается выражением:
(12) |
где Г( ) = ( - 1)! – гамма-функция Эйлера. Очевидно, что при = 1 выражение (12) упрощается до вида (1), соответствующего экспоненциальному распределению.
Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.
При больших гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = · , b = · 2.
Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 3.
Числовые характеристики наработки до отказа:
- средняя наработка (МО наработки) до отказа
T0 = / , (13) | (13) |
- дисперсия наработки до отказа
D = D{T} = / 2 . | (14) |
Рис. 3
Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т. п.
Контрольные вопросы и задачи:
- Как описывается изменение плотности распределения отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?
- Получите расчетное выражение для ВБР, ВО и ИО при экспоненциальном распределении наработки до отказа?
- Как связаны числовые характеристики наработки до отказа с интенсивностью отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?
- Для описания надежности каких объектов используется логарифмически-нормальное распределение?
- Какой из параметров в выражении плотности распределения отказов при гамма-распределении наработки является параметром формы и параметром масштаба?Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром = 10 -5 час-1. Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора предполагается Tн = 10 4 час. Определить интересующую конструктора:
1) среднюю полезную наработку детали к моменту Tн;
2) вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [0, Tн];
3)вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [10 3, 10 4 час]?
Ответы: 1) 9.5 · 10 3 час, 2) 0.905, 3) 0.914.
- На сборку прибора поступила деталь, прошедшая испытания на надежность. Известно, что наработка до отказа детали подчиняется экспоненциальному распределению с параметром = 5 · 10 -5 час -1. Определить вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [10 3, 10 4час]?
Ответ: 0.345.
Дата добавления: 2016-03-20; просмотров: 1473;