Понятие о спектре периодического сигнала

В общем случае под спектром понимают совокупность каких-то величин или понятий (например, спектр мнений). В теории цепей для электрических сигналов применяют понятие частотного спектра – это совокупность частотных, т.е. гармонических составляющих электрического сигнала. Каждая гармоническая составляющая имеет свою частоту, амплитуду и начальную фазу. Совокупность амплитуд гармоник называют спектром амплитуд, совокупность начальных фаз – спектром фаз. Подробнее называют амплитудно-частотный спектр (АЧС) и фазо-частотный спектр (ФЧС). Конкретный вид этих спектров зависит от формы электрического сигнала.

В первую очередь понятие частотного спектра было введено для периодических сигналов. При этом используется математический аппарат ряда Фурье.

Спектральный анализ и синтез на основе рядов Фурье

Функция называется периодической, если , где , k – целое, T – период.

В электротехнике используются именно ряды Фурье и гармонические составляющие (частотный спектр). Теоретически функцию можно разложить и на другие составляющие, используя другие ряды.

Ряд Фурье записывается в виде:

, где k – номер гармоники.

Коэффициенты Фурье для этого ряда находятся по формулам:

Периодические сигналы представляются рядом Фурье в виде:

, где - основная частота;

Здесь коэффициенты рассчитываются по формулам:

Часто используется другая форма записи ряда Фурье:

, где:

– амплитуда k-ой гармоники; - начальная фаза

Для удобства расчетов ряд Фурье записывается в комплексной форме: