После введения таких символических понятий, как комплексные токи и напряжения, можно ввести понятие комплексного сопротивления для участка цепи.

Параллельные RLC - цепи

U=I·Z=I/Y Y – комплексная проводимость, B – реактивная, G-активная. Рассмотрим схему с параллельными RLC - элементами:

Все ее элементы соединены параллельно и находятся под одним и тем же напряжением u(t)=Um∙sin(wt+y_u). Необходимо определить ток в цепи i(t). На основании 1-го закона Кирхгофа в любой момент времени справедливо соотношение
i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t) .
Отдельные составляющие токов определяются выражениями
Подставив вместо u(t) гармоническую функцию времени и проведя необходимые математические операции, получим

Будем определять искомый ток в виде i(t)=Im▪sin(wt+[K1] y_i).
Перейдем к комплексным мгновенным значениям.

Сокращая на e^jwt и учтя, что , получим

или
Выражение в скобках – комплексная проводимость цепи Y
, – резистивная составляющая проводимости,
– реактивная составляющая проводимости и она может быть равна 0 на какой-то частоте ω₀, которую называют резонансной.

Закон Ома в комплексной форме для цепи записывается
или

Отсюда следует, что при параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Проанализируем векторную диаграмму параллельной RLC - цепи

Напряжение взято как опорный вектор, ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением , ток в индуктивности отстает на 90⁰, а ток емкостной опережает на 90⁰ и меньше (ω<ω₀). Общий ток равен сумме векторов всех токов и он отстает от напряжения по фазе.

Принцип дуальности в электрических цепях

В электрических цепях есть некоторые понятия, которые с одной стороны противоположны друг другу, а с другой стороны взаимосвязаны и дополняют друг друга (из физики: электромагнитное поле - электрическое поле и магнитное поле). Такие понятия, величины называются дуальными.