Движение электрона в однородном магнитном поле

Для решения этой задачи так же воспользуемся прямоугольной системой координат. Ось у направим навстречу вектору магнитной индукции В, а ось x – так, чтобы вектор скорости электрона u, находящегося в момент времени t = 0 в точке начала координат, лежал в плоскости XOY, т.е. имеем компоненты u_xo и u_yo.

В отсутствии электрического поля система уравнений движения электрона принимает вид:

m = – е ( u_у × В_z – u_z B_y );

m = – e (u_z B_x – u_x B_z );

m =– –e (u_x B_y – u_y B_x ),

или с учетом условий B_x =B_z =0, а В_у = – В:

m = e B u_z;

m = 0;

m =e Bu_x.

Рисунок 2.4. Движение электрона в однородном магнитном поле

Интегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t=0, u_y=u_yo приводит к соотношению:

т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлении силовых линий поля.

Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее в дифференцировании первого по времени и подстановке значения du_z /dt из третьего, приводит к уравнению, связывающему скорость электрона u_x cо временем:

= 0,

где

Решение уравнений такого типа можно представить в виде:

u_x = A cosw t + C sinw t,

причем из начальных условий при t = 0, u_x = u_xo , du_x /dt = 0 (что следует из первого уравнения системы, так как u_zo = 0) вытекает, что

u_x = u_xo × cos w t.

Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системы приводит к выражению:

u_z =u_xo× sinw t.

Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:

u_x² + u_z²= u_xo² = const,

которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости (энергии) электрона.

В результате интегрирования уравнения, определяющего его u_x, получаем:

x = × sin w t,

постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.

Интегрирование уравнения, определяющего скорость u_z с учетом того, что при z = 0, t = 0 позволяет найти зависимость от времени координаты Z электрона:

Решая два последних уравнения относительно sinwt и coswt, возводя в квадрат и складывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электрона на плоскости XOZ:

Это уравнение окружности радиуса r = / w , центр которой расположен на оси z на расстоянии r от начала координат (рис. 2.4). Сама траектория электрона представляет собой цилиндрическую спираль радиуса

c шагом

.

Из полученных уравнений очевидно также, что величина

представляет собой круговую частоту движения электрона по этой траектории.