Соотношение систематической и случайной составляющих

Допустим, что все систематические погрешности учтены, т.е. поправки,

которые надо было определить, вычислены, класс точности измерительного

прибора известен и есть уверенность, что отсутствуют какие-либо существен-

ные и неизвестные нам источники систематических погрешностей.

Но и в этом случае результаты измерений все-таки несвободны от слу-

чайных погрешностей. Если случайная погрешность окажется меньше система-

тической, то, видимо, нет смысла пытаться еще уменьшить величину этой по-

грешности – все равно результаты измерений не станут от этого заметно точ-

нее, и если мы хотим получить более высокую точность, то нужно попытаться

уменьшить систематическую погрешность. Но если случайная погрешность

больше систематической, то именно случайную погрешность и надо уменьшать

в первую очередь.

Мы уже говорили, что если произвести несколько измерений и взять

среднее арифметическое, то случайная погрешность этого среднего будет

меньше, чем погрешность одного измерения. Поэтому для уменьшения случай-

ной погрешности надо провести не одно, а несколько измерений. Измерений

должно быть тем больше, чем меньшую величину случайной погрешности мы

хотим получить. Но нет смысла производить измерений больше, чем это необ-

ходимо, чтобы систематическая погрешность превышала случайную.

Отсюда следуют правила:

1 Если систематическая погрешность является определяющей, т.е. ее ве-

личина значительно больше величины случайной погрешности, присущей вы-

бранному методу измерения, то достаточно выполнить измерение один раз.

2 Если случайная погрешность является определяющей, то измерение

следует проводить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать

таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше

систематической погрешности, с тем, чтобы окончательную погрешность ре-

зультата опять определяла систематическая погрешность.

Но надо помнить, что можно ограничиться одним измерением только в

тех случаях, когда из каких-то других источников нам известно, что величина

случайной погрешности меньше, чем систематической.

Это обычно бывает тогда, когда измерения проводятся известным мето-

дом, погрешности которого в какой-то степени изучены. Например, если изме-

рять длину карандаша с помощью измерительной линейки с ценой деления

1 мм, то можно быть уверенным, что случайная погрешность гораздо меньше

1 мм, и следует ограничиться одним измерением. Или мы знаем, что случайная

погрешность взвешивания на обычных торговых весах меньше 5 г, а цена деле-

ния шкалы таких весов 5 г и присущая им систематическая погрешность близ-

ка к этой величине. Значит, на этих весах надо взвешивать один раз, так

обычно и делают. Но при взвешивании на более точных лабораторных весах

случайная погрешность больше систематической, и для повышения точности

часто проводят несколько взвешиваний.

Т.е. необходимое число измерений определяется соотношением величи-

ны систематической и случайной погрешностей.

Мы уже говорили о методе рандомизации, когда систематическая по-

грешность переводится в случайную. Измерения организуют так, чтобы посто-

янный фактор, влияющий на результат измерений, действовал в каждом из них

по-разному.

Например, если для определения урожайности поля собрать урожай с

какого-либо участка, а потом умножим на общую площадь, то полученный

таким образом общий урожай может быть искажен систематической по-

грешностью, т.к. плодородность поля на разных участках может быть раз-

ная. А если разбить поле на более мелкие участки и выбрать несколько таких

участков случайным образом, то мы переведем систематическую погреш-

ность, вызванную различием в урожайности разных частей поля, в случайную.

Конечно, такое исключение систематических погрешностей практически

далеко не всегда возможно. Поэтому погрешности и делят на систематические

и случайные.

При косвенных измерениях нужный результат искажен случайными по-

грешностями, различными для разных величин xi, от которых зависит интере-

сующий нас результат y.

Например, определяем плотность вещества, из которого сделан прямо-

угольный параллелепипед. Длины его граней l1, l2 и l3. Плотность будет равна

ñ=m/V, где m – масса параллелепипеда, V – его объем. Мы измеряем длины гра-

ней и массу тела. Погрешность в этом случае определяется как сумма отно-

сительных погрешностей.

Взвешивание проводим на весах, погрешность которых Äm=1 мг при

массе объекта около 10 г. Тогда относительная погрешность ä m=10-4=10-2%.

Пусть объем тела около 1 см3. Если мы хотим, чтобы погрешность

плотности определялась в основном погрешностью взвешивания, то надо до-

биться того, чтобы погрешность в измерении длин граней была меньше по-

грешности взвешивания, т.е. ä l<ä m, следовательно, ä l<10-4; при длине сторо-

ны в 1 см Äl<10-4 см.

Если у нас нет инструментов, точнее штангенциркуля, у которого

Äl=10-2 см, то требуемой точности мы все равно не получим и нет смысла

пользоваться такими точными весами. Но если все же необходимо определить

плотность материала с такой точностью, то придется применять очень

точный микрометр. Но без дополнительных мер предосторожности измере-

ние длин с такой точностью все равно не приведет к нужной точности изме-

рений.

Мы допустили, что объем параллелепипеда V=l1·l2·l3. Но он отличается

от этой величины, потому что у реального параллелепипеда углы не равны

точно 90˚, а поверхности не строго плоские. Если один из углов квадрата име-

ет погрешность в 1˚, то это даст погрешность площади квадрата около 1%.

Достичь такой точности углов в процессе изготовления трудно, и для многих

изделий углы имеют большую погрешность. Погрешность отклонения поверх-

ностей от плоскости чаще всего небольшая, но если поверхность, например,

сильно шероховата, то это может внести заметную погрешность в измере-

нии длин точным инструментом. В результате неровности поверхности изме-

рений объем всегда будет больше истинного. Для нашего примера с определе-

нием плотности чаще всего именно погрешности углов параллелепипеда будут

ограничивать точность измерения объема. Т.е. нет смысла добиваться боль-

шей точности измерения, чем та, которая может быть достигнута без уче-

та ошибок, допущенных при изготовлении параллелепипеда.

Рассмотрим еще некоторые свойства результирующей погрешности.

Допустим, что наш параллелепипед имеет плоскую форму, т.е. l1<<l2≈l3.

Большинство инструментов, которые используют для измерения дли-

ны, дают погрешность Äl, величина которой почти не зависит от измеряемой

длины у одного и того же измерительного инструмента. Но тогда ä l1>>ä l2≈ä

l3

и определяющей будет погрешность измерения самой малой грани. Практи-

чески, если одна грань в 3-4 раза меньше других, то погрешностями измерения

других граней можно пренебречь.

Таким образом, всегда можно оценить роль погрешностей в различных

звеньях измерительного процесса. Оценку необходимой точности следует де-

лать в результате тщательного анализа условий опыта и факторов, влияющих

на конечный результат. Условия измерений надо выбирать так, чтобы относи-

тельные погрешности каждого звена были примерно одинаковыми. Иначе по-

грешность результата обычно задается одной величиной, погрешность измере-

ния которой наибольшая.