Метод скалярной прогонки

Метод прогонки является эффективным методом решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами, возникающими при конечно-разностной аппроксимации задач для ОДУ и одномерных уравнений в частных проихводных второго порядка, и является частным случаем метода Гаусса. По экономичности вычислений этот метод имеет существенное преимущество по сравнению с методом Гауса. Рассмотрим каноническую форму СЛАУ

, (*)

i= ,

где: - искомые переменные i-го уравнения;

- звдвнные коэффициенты i-го уравнения;

- заданная правая часть i-го уравнения.

Представим СЛАУ (*) в обычном виде

(14)

Решение СЛАУ или (*) будем искать в виде

(15)

где - прогоночные коэффициенты, подлежащие определению.

Метод скалярной прогонки состоит из двух этапов:

первый этап – прямой ход, где определяются коэффициенты и ;

второй этап – обратный ход, где определяются искомые параметры в следующей последовательности:

x_n→x_n-1→x_n-2→…→x₂→x₁.

Получим формулы, определяющие A_i,B_i, i= на прямом ходе.

Из первого уравнения в (14)имеем:

(16)

откуда ; , при i=1.

Из второго уравнения в (14) с заменой по формуле (16) получаем

,

где , .

Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения СЛАУ (14)

,

при .

Следовательно,

; , при .

Из последнего уравнения СЛАУ (14) имеем

, так как , при i=n;

т.е. .