Метод исключения Гаусса.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)общего вида в векторно-матричной форме записывается следующим образом

А Х = В, (*)

где А – квадратная матрица размером ;

Х = - вектор искомых параметров размером ;

В = - вектор правых частей размером .

Существование решения любой СЛАУ определяется условиями теоремы Кронекера-Капелли:

1). Для того чтобы СЛАУ (*) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы.

2). Если ранг основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то СЛАУ (*) имеет единственное решение.

3). Если ранг r основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных (r n), то СЛАУ (*) имеет более одного решения. В этом случае число «свободных» неизвестных, через которые выражаются остальные неизвестные, равно n-r.

Существуют различные модификации метода Гаусса – метод исключения, метод последовательной подставки и др. Наибольшее распространение получил метод исключения. Этот метод и будем изучать.

Принцип метода исключения Гаусса включает прямой ход, где основная квадратная матрица заданного уравнения преобразуется с помощью эквивалентных действий в верхнюю или нижнюю треугольные матрицы, и обратный ход, где определяются значения искомых переменных. Рассмотрим решение СЛАУ методом исключения Гаусса на примере.

Дана СЛАУ:

a11·x1 + a12·x2 + a13·x3 = b1,

a21·x1 + a22·x2 + a23·x3 = b2,

a31·x1 + a32·x2 + a33·x3 = b3.

Прямой ход:

Составит расширенную матрицу:

x1 x2 x3 b a11 a12a13 b1 а21 a31 a22 a23 a32 a33 b2 b3

Первый шаг -a21/ a11; -a31/ a11 a11≠ 0! =b2+b1·(-a21/ a11) =b3+b1·(-a31/ a11)

матрица системы А

a11 a12a13 b1 0 0

Второй шаг

a11 a12 a13 b1 0 0

Прямой ход закончен Получили СЛАУ с треугольной матрицей

Обратный ход:

x3= ;

x2+ x3=

Обратный ход закончен!

Заданная СЛАУ решена методом исключения Гаусса.

Замечание 1. Если все элементы какой либо строки матрицы системы А в результате преобразования стали равными нулю, а правая часть b не равна нулю, то СЛАУ несовместна, поскольку не выполняются условия теоремы Кронеккера-Капели.

Замечание 2. Если элементы какой-либо строки матрицы системы А и правая часть (b) стали равными нулю, то СЛАУ совместна, но имеет бесконечное множество решений, которые получаются по методу Гаусса для СЛАУ порядка r, где r– ранг матрицы исходной СЛАУ.