ПОНЯТИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ.
На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует сила притяжения, называемая силой тяжести. Все эти силы, строго говоря, направлены к центру Земли, но так как размеры тела невелики по сравнению с радиусом Земли, то направления этих сил практически будут параллельны и направлены вертикально вниз.
Силой тяжести тела называется равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела. Обозначим силы тяжести, приложенные к частицам тела, их равнодействующую обозначим .
Центром тяжести тела называется точка С приложения силы тяжести тела.
При любом повороте тела силы остаются приложенными в одних и тех же точках и параллельными друг другу, но изменяется их направление относительно тела. Неизменным остается также положение центра тяжести относительно тела.
Определим положение центра тяжести тела относительно произвольно выбранной точки О. Соединим (рис.35) радиусами -векторами с точкой О точки приложения сил тяжести всех частиц и центр тяжести тела. Запишем теорему Вариньона:
так как , то или
Выберем единичный вектор определяющий направление сил тяжести. Тогда : Подставим эти значения в предыдущее равенство: В этом выражении Р и рk являются скалярными коэффициентами, поэтому их можно поставить перед векторами и , вектор можно вынести за скобки, получим
Как было отмечено выше, при повороте тела силы тяжести поворачиваются относительно него на один и тот же угол, а центр тяжести С сохраняет положение неизменным. Эту же ситуацию можно смоделировать (рис.36), повернув все силы тяжести на один и тот же угол вокруг точек приложения, оставив при этом тело неподвижным. Тогда единичный вектор изменит свое направление, и поэтому в общем случае он не будет параллелен вектору . Так как вектор не равен нулю, то векторное произведение векторов и будет равно нулю только тогда, когда вектор будет равен нулю: Отсюда определяем значение радиуса - вектора центра тяжести тела.
Свяжем с точкой С систему координат xyz . Тогда координаты цента тяжести в этом системе координат определяются следующими формулами:
где - координаты точек приложения сил тяжести , действующих на частицы тела.
Для однородного тела сила тяжести любой его части пропорциональна объему vk этой части: pk=g vk, а сила тяжести тела Р пропорциональна объему V этого тела: P=g V.
Подставив значения Р и рк в формулы координат центра тяжести, получим:
Положение центра тяжести тела, как следует из полученных формул, зависит только от геометрической формы тела, поэтому точку С называют центром тяжести объема.
Аналогично определим центр тяжести однородной плоской пластины, расположенной в плоскости ху:
где S – площадь всей пластины, sk – площади ее частей.
Точно также получаются координаты центра тяжести однороднойлинии:
,
где L – длина всей линии, lk – длины ее частей.
Если однородное тела имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит в плоскости, на оси или в центре симметрии. Отсюда следует, что центр тяжести однородного стержня лежит в его середине, центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, шара находится в соответствующем геометрическом центре. Центры тяжести ромба, параллелограмма лежат в точках пересечения их диагоналей.
Для определения центра тяжести тело разбивается на конечное число частей, положение центра тяжести каждой из которых известно. Координаты центра тяжести тела вычисляются по общим формулам. В тех случаях, когда данное тела имеет отверстия, его можно представить как разность тел, в этом случае сила тяжести большего тела считается положительной величиной, а сила тяжести меньшего – отрицательной.
Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают на бесконечно большое элементарных частиц и положение центра тяжести тела определяется интегрированием. В этом случае координаты центра тяжести однородного твердого тела равны:
, ,
где V – объем всего тела.
В случае однородной плоской фигуры, расположенной в плоскости ху:
,
где S – площадь всей фигуры.
Для однородной линии, длина которой равна L, координаты центра тяжести равны:
Дата добавления: 2016-02-13; просмотров: 1767;