Последнее с учетом формулы (5.20) позволяет выписать выражения

Y₁₁ = (z₁₁ + z₂₁) ,

(2)^1/2

Y₁₂ = (z₁₂ + z₂₂)

(2)^1/2

и равенство Y₁₁ = Y₁₂.

Таким образом, условие изометрии двух вариантов (5.37) означает равенство для этих вариантов значений первой главной компоненты, найденной для нормированных значений признаков. Таким образом, применение главных компонент позволяет также получить интегративный показатель общей величины развития какой-то системы признаков, основанный на их согласованной вариации. При увеличении значений коэффициента корреляции между двумя признаками изменчивость общей величины системы этих показателей будет увеличиваться, а вариация формы уменьшаться. Этому будут соответствовать изменения дисперсий первых двух главных компонент, имеющих значения 1 + r и 1 - r.

- 86 -

Важным достоинством главных компонент является простота получения многомерного обобщения результатов, полученных для случая двух признаков. В ситуации, когда число исходных показателей m > 2, количество главных компонент будет равно числу признаков. В ситуации, когда все признаки связаны положительными корреляциями, первая главная компонента обычно описывает их согласованную вариацию и имеет также положительные нагрузки на исходные переменные. Поэтому, ее обычно можно бывает считать интегративной характеристикой общей величины той изучаемой морфологической системы (всего тела, отдельного соматического компонента, головы и лица и др.), которая описывается набором исходных показателей.

Остальные главные компоненты, начиная со второй, будут описывать различные аспекты изменчивости формы. Определим понятие контраста формы как объективное существование изменчивости в соотношениях двух групп признаков. Тогда можно будет сказать, что главные компоненты, начиная со второй, будут обычно измерять разные контрасты формы. Некоторые из них с высокими долями учитываемой суммарной изменчивости будут более важными.

Пример 5.1 Рассмотрим проведение компонентного анализа в выборке 242 взрослых женщин для 22 размеров тела. В набор исходных признаков вошли пять габаритных размеров скелета (длины корпуса, ноги и руки, акромиальный и тазогребневой диаметры), четыре диаметра мыщелков конечностей, шесть обхватов сегментов корпуса и конечностей, зависящих от развития мышц и подкожного жира, семь жировых складок. Таким образом, эти признаки описывают различные соматические компоненты достаточно подробно.

График значений 22 собственных чисел (рис.5.8) демонстрирует, что начиная с третьего такого числа, образуется примерно прямолинейная и пологая последовательность их величин. В соответствии с критерием отсеивания Кеттела для интерпретации следует рассматривать только три главные компоненты. Они совместно описывают 63.6% или около 2/3 суммарной изменчивости 22 размеров тела.

Первая главная компонента имеет положительные нагрузки на все признаки. В наибольшей степени она скоррелирована с обхватами сегментов конечностей и жировыми складками. Здесь нагрузки имеют значения 0.69 - 0.91. Для скелетных размеров тела нагрузки на первую главную компоненту имеют гораздо меньший уровень 0.18 - 0.56. Тазогребневой диаметр по своим нагрузкам на первую главную компоненту занимает промежуточное положение. Особняком стоит длина корпуса, которая практически не скоррелирована с первой главной компонентой. Поэтому, первую новую переменную можно считать интегративным показателем общей величины тела, в которой проявляется в первую очередь его поперечное развитие. Свои наибольшие значения первая главная компонента примет у женщин с максимальным развитием жирового компонента и обхватов сегментов конечностей. Напротив, наименьшие величины эта компонента примет у женщин с минимальными значениями жировых складок и обхватов.

Вторая главная компонента у разных признаков имеет нагрузки разного знака. Поэтому, часто такие главные компоненты называются биполярными. Положительные нагрузки характерны для скелетных размеров тела, где наблюдаются величины от 0.18 до 0.72. Отрицательные нагрузки с величиной 0.17 - 0.22 характерны для жировых складок. Для

- 87 -

Таблица 5.1. Нагрузки на главные компоненты 22 размеров тела

в выборке 242 женщин

истолкования морфологического смысла второй главной компоненты следует рассмотреть какие соматические варианты могут быть найдены для полярных ее значений.

Нетрудно видеть, что большие значения этого нового признака можно будет обнаружить для индивидуальных вариантов с увеличенным (в первую очередь - продольным) развитием скелетного компонента по отношению к жировому. При малых значениях первой главной компоненты, описывающей преимущественно общую поперечную величину тела, эти варианты можно сопоставить с астеническим состоянием, используя терминологию И.Б.Галанта. При средних или высоких значениях первой главной компоненты для вариантов с большими значениями второго нового признака, по-видимому, можно отметить сходство с атлетическим соматическим состоянием.

Малые значения второй главной компоненты будут наблюдаться у женщин, для которых будет характерно пониженное развитие скелета при относительно повышенном развитии подкожного жира. Нетрудно видеть, что при малых значениях первой главной компоненты для этих женщин можно констатировать стенопластическое состояние по

- 88 -

терминологии И.Б.Галанта. При средних и больших величинах первой главной компоненты малые величины второго нового признака будут соответствовать пикническому варианту. Таким образом, вторая главная компонента описывает общий продольно-поперечный контраст общей формы тела женщин.

Третья главная компонента - также биполярна и выделяет две группы признаков. Первую из них образуют продольные размеры конечностей и тазогребневой диаметр. Для них характерны положительные нагрузки с величиной 0,29 - 0.49. Вторая группа признаков включает длину корпуса, диаметры мыщелков конечностей и обхват голени. Для них наблюдаются отрицательные нагрузки со значениями 0.22 - 0.34. Большие значения третьей главной компоненты будут характерны для тех женщин, у которых относительно длинные конечности будут сочетаться с относительно коротким корпусом и ослабленным развитием мыщелков. Обратное сочетание относительно укороченных конечностей с удлиненным корпусом и усиленным развитием мыщелков даст малые значения третьей главной компоненты. Таким образом, третья главная компонента описывает контраст пропорций тела, точнее - пропорций скелета.

Пример 5.2 Рассмотрим результаты компонентного анализа 11 размеров головы и лица в 5 выборок русских (петровских, русановских, холмогорских, афанасьевских и шенкурских), обследованных А.И.Ярхо, Г.Ф.Дебецом и Н.Н.Чебоксаровым в 1931 - 1938 гг. Данные хранятся в научном архиве НИИ и Музее антропологии МГУ, суммарный объем - 618 наблюдений. Для того, чтобы исключить влияние межгрупповых различий признаков в объединенной выборке, перед слиянием данных внутри каждой из них проводилась нормировка каждого i-го признака у каждого j-го индивида в стандартном виде z_ij = = (X_ij - M_i) / s_i с учетом значений средней арифметической M_i и среднего квадратического отклонения s_i этого признака. В результате в каждой выборке для каждого признака по нормированной z-форме достигался нормированный вид варьирования с нулевой средней и единичной дисперсией, что позволяло проводить объединение всех материалов.

Рисунок 5.9. График значений 11 собственных чисел, найденных при компонентном анализе размеров головы и лица

- 89 -

График значений собственных чисел (рис.5.9) показывает, что эти числа с третьего по одиннадцатое, образуют примерно прямолинейную и пологую последовательность. В соответствии с критерием Кеттела нам следует рассматривать только первые три главные компоненты. Они совместно описывают 53.4% суммарной изменчивости 11 размеров головы и лица.

Первая главная компонента имеет положительные нагрузки у всех признаков (табл.5.2). Для размеров, ориентированных на скелетную основу, эти нагрузки имеют большие значения (0.44 - 0.79), чем для признаков, связанных с развитием хрящевых или мягких тканей (0.15 - 0.60). Поэтому, можно сказать, что первая главная компонента является показателем величины размеров головы и лица, в первую очередь тех, которые ориентированы на скелетные структуры.

Вторая главная компонента имеет биполярный характер и выделяет две группы признаков. Первую из них образует поперечный диаметр головы, скуловой и нижнечелюстной диаметры и ширина носа. Для этих поперечных размеров наблюдаются положительные нагрузки на вторую главную компоненту с величиной (0.24 - 0.44). Вторую группу признаков образуют продольные размеры лица: его высота, высоты носа и верхней губы, толщина губ. Для них наблюдаются отрицательные нагрузки с величинами (0.22 - 0.64). Большие значения второй главной компоненты будут найдены у индивидов с более брахикефальной головой и более эурипрозопным лицом. Малые значения этого нового признака будут характерны для сочетания более долихокефальной головы и лептопрозопного лица. Таким образом, вторая главная компонента описывает продольно-поперечный контраст формы головы и лица.

Третья главная компонента - также биполярна, и выделяет две группы признаков, первую из которых образуют скелетные размеры головы и лица, у которых наблю-даются положительные нагрузки. Вторая группа признаков с отрицательными нагрузками образована признаками, зависящими, главным образом, от развития хрящевых и мягких

Таблица 5.2. Нагрузки на главные компоненты 11 размеров головы и лица

- 90 -

тканей носа и рта. Таким образом, большие значения третьей главной компоненты будут наблюдаться у индивидов с более крупными размерами черепа при относительно слабом развитии хрящевых и мягких частей носа и лица. Для малых значений третьего нового признака будет наблюдаться обратная комбинация морфологических свойств.