Пространственная контактная задача

Контактное взаимодействие

Вопрос контакта двух тел является определяющим при оценке долговечности движущихся деталей механизмов и соединений, поскольку возникающие в процессе взаимодействия напряжения и деформации в конечном итоге формируют предел усталостной прочности материала и его выносливость к воздействию нагрузок. В теории контактного взаимодействия при этом рассматриваются трехмерная (пространственная) и двумерная (плоская) контактные задачи.

Пространственная контактная задача

Пространственная задача заключается в определении напряжений и деформаций двух тел произвольной формы, которая упрощенно сводится к элементам эллипсоидов с главными радиусами кривизны ρ₁ и ρ₂. Схема взаимодействия представлена на рис. 1.

Р

θ

ρ₁^’ ρ₁^’’

ρ₂^’ ρ₂^’’

a P

b

Рис. 1 К рассмотрению пространственной контактной задачи

Угол θ является углом между соответствующими главными радиусами кривизны поверхности контактирующих тел. В результате деформации при сжатии силами Р тела будут касаться друг друга не в точке, по некоторой эллиптической площадке с осями a и b.

Контактное напряжение на площадке согласно теории упругости будет равно:

Большая и малая полуоси эллиптической площадки равны соответственно:

;

.

Деформация тел в области контакта определяется следующим образом:

Приведенный радиус кривизны контактирующих тел:

Приведенный модуль упругости:

,

где Е₁ и μ₁ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала первого тела, Е₂ и μ₂ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала второго тела; коэффициенты К_а , К_b\ , К_δ являются функциями угла θ.

В частном случае, когда одно из тел является шаром, а другое – плоскостью, приведенные выше формулы для напряжения и деформации (применительно к шару) упрощаются:

; .