Расчет надежности восстанавливаемых радиоэлектронных устройств и систем

Будем называть систему, у которой отказавший элемент заменяется на исправный, системой с восстановлением. В реальных случаях замена (восстановление) отказавшего элемента всегда связана с затратами времени, во-первых, на поиск элемента среди исправных (обнаружение неисправности), во-вторых, собственно, на замену элемента исправным (устранение неисправности).

Рассмотрим сначала идеальный случай восстановления, когда отка­завший элемент мгновенно заменяется на исправный. Поставим задачу: необходимо найти числовые параметры, характеризующие эффективность восстановления как операции повышения (поддержания) надежности системы. Поскольку отказы элементов можно считать событиями случайными, то числовые характеристики эффективности восстановления носят вероятностный характер.

Пусть имеется система S, в которой с течением времени происходят отказы элементов. Количество отказавших элементов за некоторый промежуток времени, мгновенно замененных на исправные, характеризует качественное изменение состояния системы. Состояние системы меняется во времени (рис. 2.7) случайным образом, образуя в своей совокупности случайный процесс. Если система состоит из двух элементов, каждый из которых обладает в данных условиях неслучайным временем исправной работы T₁ и T₂, то процесс перехода системы из одного состояния в другое иллюстрируется рис. 2.8.

Рис.2.7. Возможные состояния системы по надежности

Рис.2.8. Пример неслучайного перехода системы из одного состояния в другое

Можно видеть, что количество восстановлений в будущий период Т будет зависеть только от величин Т₁, T₂, начала отсчета периода Т, а также от состояния системы в момент начала отсчета T. Число восстановлений в будущем не зависит от числа восстановлений в прошлом.

В реальной восстанавливаемой системе время исправной работы любого элемента является случайной величиной. Поэтому процесс перехода системы в каждое состояние характеризуется вероятностями перехода.

Нас интересует, сколько восстановлений система потребует в будущем. При этом можно считать, что количество будущих восстановлений зависит лишь от состояния системы в рассматриваемый момент времени и не зависит от того, каким образом система достигла этого состояния. Другими словами, характеристики будущего зависят лишь от настоящего состояния и не зависят от предыстории процесса. Такой процесс, называемый Марковским процессом, обладает следующими свойствами.

Для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (t>t₀) зависит от ее состояния в настоящем (t=t₀) и не зависит от того, когда и каким образов система достигла этого состояния.

Система с восстановлением характеризуется также тем, что она с течением времени стачком переходит из одного состояния в другое.

Например: если система состоит из двух элементов, то во время работы системы каждый из элементов может отказать. Поэтому возможны следующие состояния системы:

S₁ ‑ оба элемента исправны;

S₂ ‑ первый элемент отказал, второй исправен;

S₃ ‑ первый элемент исправен, второй отказал;

S₄ ‑ оба элемента отказали.

Такой процесс называется случайный процессом с дискретными состояниями. Поскольку переход системы из одного состояния в другое осуществляется в случайные моменты времени, то заранее эти моменты указать невозможно. Случайные процессы, характеризующие дискрет­ные состояния системы, возникающие в случайные моменты времени, называются процессами с непрерывным временем.

Следовательно, исходя из общих соображений, можно считать, что изменения состояний системы можно характеризовать Марковским процессом с дискретными состояниями и с непрерывным временем.

Пусть рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состояний: S₁, S₂, …, S_n

Обозначим P_i(t) - вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_i (i=1,2,...n). Поскольку все состояния несовместны (система может находиться только в одном из состояний) и составляют полную группу событий (других состояний, кроме S₁, S₂,…,S_n, не существует), то для любого момента времени

Определим каждое значение P_i(t). Для этого положим, что система в момент t находится в состоянии S_i и имеется промежуток времени ∆t, примыкающий к моменту t (рис. 2.9). Обозначим через P_ij(∆t) вероятность того, что система за время ∆t перейдет из состояния S_i в состояние S_j. Тогда плотность вероятности такого перехода можно выразить пределом

который называют интенсивностью перехода.

При малом ∆t отсюда следует, что

Если плотности λ_ij не зависят от того, в какой момент времени начинается промежуток ∆t, то Марковский процесс называется однородным.

Пример: используем выражение плотности вероятности перехода λ_ij для определения вероятности состояний системы, характеризующейся графом состояний (рис. 2.10).

Рис. 2.9. Элементарный интервал времени

Рис. 2.10. Граф состояний системы

Пусть P₁(t) - вероятность того, что система в момент t будет находиться в состоянии S₁. К этому событию система может подойти несколькими путями:

1. К моменту времени t система S уже находилась в состоянии S₁ и за промежуток ∆t не вышла из него.

2. К моменту времени t система находилась в состоянии S₃ (см. рис.2.10) и за промежуток ∆t перешла в состояние S₁. Здесь мы учитываем предысторию для того, чтобы определить характеристики настоящего момента, а не будущего. Поэтому марковость процесса сохраняется.

Вероятность первого пути есть произведение

где P_1-1(∆t) - условная вероятность того, что система, находясь в состоянии S₁, за промежуток ∆t не перейдет в состояние S₂.

Здесь произведение λ₁₂∆t представляет собой вероятность пе­рехода системы за интервал ∆t из состояния S₁ в S₂, т.е. P₁₂(∆t). Таким образом,

Вероятность второго варианта есть произведение

где P_3-1(∆t)=λ₃₁(∆t) - условная вероятность того, что система, находясь в состоянии S₃, за период ∆t перейдет в состояние S₁.

Следовательно,

Вероятность того, что в промежутке t+∆t система останется в состояния S₁, равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

или

Устремив ∆t→0, получим дифференциальное уравнение, характеризующее вероятность P₁(t):

Найдем вероятность того, что система в момент t находится в состоянии S₂. Здесь возможны следующие варианты:

1. Система уже находилась в S₂ и осталась в этом состоянии в интервале ∆t;

2. Система была в S₁ и за период ∆t перешла в S₂;

3. Система была в S₄ и за период ∆t перешла в S₂.

где (λ₂₃ ∆t +λ₂₄ ∆t) - вероятность перехода системы из S₂ в S₃ или S₄, подсчитываемая как вероятность несовместных событий;

;

Тогда

Запишем после уравнение в форме

откуда

Рассуждая аналогично для оставшихся состояний системы, можно записать:

,

Эти уравнения для вероятностей состояний называются уравнениями Колмогорова. Они позволяют после интегрирования найти соответству­ющие вероятности.

При анализе случайных процессов в системе с дискретными сос­тояниями встречаются последовательности событий, возникавших одно за другим в случайные моменты времени. Такие последовательности называется потоками событий. Для системы элементов, поверженных отказам, можно говорить о потоке отказов. Под действием этого по­тока система может переходить из одного состояния в другое.

Поток называется стационарным, если вероятность попадания некоторого количества событий на участок времени длиной τ зависит только от τ и не зависит от того, где именно на оси времени этот участок находится.

Поток называется потоком без последействия, если для любых разных интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попавших на другой интервал.

Поток называется ординарным, если вероятность попадания на интервал ∆t(∆t→0) двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток событий, обладающий тремя вышеперечисленными свойствами, называется простейшим или пуассоновским потоком.

Интенсивностью потока λ, называется среднее число событий в единицу времени. Для простейшего потока λ(t)=const, т. е. не зависит от времени.

Число событий, попадающих на заданный интервал, подчиняется распределению Пуассона (распределению редких событий):

Это вероятность того, что в интервале длительностью t возникает ровно m событии. Вероятность того, что в интервале длительностью t появится хотя бы одно событие (т.е. m≥0), можно вычислить через вероятность противоположного события Р₀ — вероятность того, что в период t ни одного события не произойдет:

; ;

Плотность вероятности

Простейший поток ординарен, т.е. в достаточно малый промежуток времена ∆t вероятность появления в нем двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события. Тогда, обозначая P₀(∆t) - вероятность отсутствия событий в интервале ∆t, а P₁(∆t) - вероятность появления одного события в период ∆t в силу ординарности, получим:

Разложим экспоненту в ряд, используя линейные члены:

Это значит, что вероятность появления одного события на малом участке ∆t простейшего потока приближенно равна произведению длины интервала ∆t на интенсивность потока λ. Из приведенного рассмотрения ясно, что случайный процесс является Марковским, если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, обладают свойствами простейшего потока.

После того, как введены, основные определения, вернемся к сис­теме с восстановлением. Количественные характеристики надежности систем с восстановлением определяются в зависимости от постановки задачи. Рассмотрим наиболее характерные из них.

Задача I. Определить вероятность того, что N запасных моментов окажется достаточным в течение времени t для мгновенного восстановления системы, состоящей из одного элемента после его отказа.

Поток восстановлений в данной задаче является простейшим (т.е. он стационарен, ординарен, последействие отсутствует).

Решение. Вероятность того, что число отказов, попадающих на участок [0,t], будет не больше, чем N , равна сумме вероятностей

или

Задача 2. Определить надежность системы, состоящей из нескольких элементов, среди которых

n₁ элементов типа 1,

n₂ элементов типа 2,

……………………..

n_k элементов типа К .

Каждый из элементов может независимо отказывать, причем интен­сивность простейшего потока отказов для элементов разных групп равна соответственно,

После отказа элемент мгновенно заменяется на исправный. Запас элементов каждого типа составляет N₁,N₂…N_k

Если будет израсходован запас элементов хотя бы одного из типов, то система считается отказавшей.

Решение. Рассматриваемая система может быть разделена на под­системы, причем в каждой подсистеме находятся элементы одного типа (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Соединение подсистем по надежности

Если хотя бы в одной из подсистем не окажется резервных эле­ментов для замены отказавшего, то система выходит из строя. Это значит, что в смысле надежности подсистемы включены последовательно. Обозначим через вероятность исправной работы i-й подсистемы. Тогда вероятность исправной работы системы будет равна

В свою очередь

найдена в результате решения предыдущей задачи. Поэтому

Задача 3. Система состоит из одного элемента, замена которого после отказа осуществляется с задержкой (задержанное восстановление). Поток отказов с простейшей интенсивностью λ. Поток восстановления также простейший с интенсивностью µ. Запас резервных элементов неограничен. Требуется определить вероятность P(t) исправной работы системы в момент t.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сделать вывод о том, что возможными состояниями системы являются:

S₀ - система исправно работает,

S₁ - система отказала.

Переход системы из одного состояния в другое изображен с помощью графа на рис.2.12. Система характеризуется двумя потоками отказов и восстановлений.

Рис. 2.12. Состояние системы с восстановлением

Состояния S₀ и S₁ образуют полную группу событий, поэтому сумма вероятностей для любого момента времени

Дифференциальные уравнения Колмогорова для рассматриваемой системы имеют вид:

Учитывая, что , для решения можно воспользоваться лишь одним уравнением

Начальным условием для решения дифференциального уравнения

является условие , то есть мы предполагаем, что в начальный момент времени система исправна.

Решение имеет вид

Обобщенная надежность системы, т.е. вероятность исправного ее состояния в момент t, равна

При t→∞ надежность системы стремится к своему предельному значению

Предельное значение надежности фактически представляет собой долю интенсивности потока восстановления в суммарной интенсивности потоков отказов и восстановлений.

Найдем вероятность P₀(t) того, что до момента t не будет ни одного восстановления. Граф состояний такой системы изображен на рис.2.13.

Рис. 2.13. Граф системы без восстановления

Единственное дифференциальное уравнение, характеризующее такую систему, имеет вид

Отсюда

Задача 4. Система состоит из n- элементов, каждой из которых отказывает, образуя поток с интенсивностью λ. При отказе любого элемента система выключается и производится восстановление. Этот поток характеризуется интенсивностью µ. Все потоки простейшие. Предполагается, что в неработающей системе элементы отказывать не могут. Найти обобщенную надежность, т.е. вероятность того, что в момент t система работоспособна (рис.2.14).

Решение. Система, как и раньше, может находиться в одном из двух состояний S₀ или S₁. Поскольку поток отказов каждого элемента λ, то суммарный поток отказов всех элементов обладает интенсивностью nλ. Граф системы изображен на рис.2.14 .

Рис.2.14.Граф системы с восстановлением

Поскольку отличие данной задачи от предыдущей заключается лишь в параметре одного из потоков, то

Предельная вероятность исправной работы при t→∞ равна

Вероятность того, что до момента t не будет ни одного восстановления, равна