Евклидово пространство

Вспомним некоторые важные понятия, изученные в 1 семестре. Мы познакомились с векторами на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости обладают рядом важных свойств. Для них введены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Результатом этих операций являются вектора на плоскости, причем справедливы следующие 8 свойств: 1) - коммутативность, 2) - ассоциативность, 3) - существование нулевого элемента, 4) существование противоположного элемента , 5) ,
6) дистрибутивность для числовых коэффициентов,
7) - дистрибутивность для векторов, 8) .

Определение 1. Множество элементов произвольной природы называется векторным пространством или линейным векторным пространством, если для этих элементов введены операции сложения и умножения на действительное число, причем для этих операций справедливы 8 свойств, указанных для операций с геометрическими векторами.

Пусть заданы векторы , ,…, векторного пространства и числа , ,…, . Величина (1)

называется линейной комбинацией заданных векторов , ,…, . При этом числа , ,…, называются коэффициентами линейной комбинации (1). Очевидно, что линейная комбинация векторов равна (нулевому вектору), если все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Определение 2. Система векторов , ,…, называется линейно независимой системой векторов, если из равенства ее линейной комбинации следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0.

Определение 3. Линейно независимая система векторов линейного векторного пространства , ,…, называется базисом этого векторного пространства, если каждый его вектор является линейной комбинацией векторов , ,…, . При этом коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно и называются координатами вектора в этом базисе.

Мы знаем, что для геометрических векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

4) , .

Определение 4. Пусть в линейном векторном пространстве введена операция, ставящая в соответствие двум векторам число. Такое соответствие, удовлетворяющее условиям 1) – 4) называется скалярным произведением векторов и обозначается символом или .

Определение 5. Линейное векторное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым пространством .

Можно доказать, что элементов базиса линейного векторного пространства не зависит от выбора базиса. Это число и называется размерностью такого пространства. Линейное пространство может быть бесконечно мерным.

Отметим, что -мерные векторные и евклидовы пространства обозначаются соответственно символами и .

Мы знаем, что наиболее удобными базисами на плоскости и в пространстве являются системы взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Евклидовы пространства замечательны тем, что при наличии произвольного базиса из векторов можно с помощью разрешенных линейных операций создать ортонормированный базис.

Определение 6. Базис в евклидовом линейного векторного пространства , ,…, называется ортонормированным базисом, если