Параметрические колебания.

Колебания механических систем, которые приходят в движение не под действием вынуждающих сил, а вследствие периодического изменения параметров самой системы (инерционность, жесткость, геометрические размеры), называются параметрическими (рис.4.1). Примеры на первых двух рисунках соответствуют периодическому изменению инерционных нагрузок за счет изменения геометрических параметров системы; они относятся к случаю периодического изменения обобщенного коэффициента инерции.

Рис.4.1

Причины возникновения параметрических колебаний несложно понять, рассмотрев один практический пример - раскачивание качелей приседанием человека в верхнем положении и вставанием в нижнем.

Рис.4.2

Для простоты заменим качели математическим маятником массы , «длина» которого изменяется скачкообразно на величину , где - понижение центра тяжести человека при приседании (рис.4.2). Надо сделать замечание, касающееся длины маятника. Под длиной маятника следует понимать не длину нити, а расстояние от точки подвеса до центра тяжести подвешенного груза. Нетрудно выполнить расчет величины энергии , поступающей для раскачивания маятника за половину одного периода. При приседании в отклоненном положении высвобождается энергия, равная работе силы тяжести , где - угол наибольшего отклонения, а в нижней точке при подъеме центра тяжести необходимо затратить энергию , где - скорость в нижней точке траектории. Тогда, с учетом и малости угла , . Если величина поступающей энергии окажется больше потерь энергии на преодоление сопротивления, которое всегда имеет место в реальных конструкциях, то будет происходить раскачивание маятника (качелей). Более подробно процесс колебаний качелей рассмотрен в [1, 8].

Основная цель исследования параметрических колебаний состоит в определении диапазона изменения параметров, являющихся причинами возникновения колебательного процесса с точки зрения его устойчивости. То есть если периодически изменяющиеся параметры самой системы (масса, жесткость, геометрические размеры) приводят к колебательному процессу с нарастающей амплитудой колебаний (параметрический резонанс), то движение считается неустойчивым, а область, в которой происходит изменение этих параметров, называется областью неустойчивости. Диапазон, в котором лежат периодически изменяющиеся параметры механической системы, приводящие к затухающим колебаниям, называется областью устойчивого движения. С точки зрения энергетического состояния механической системы важно знать, увеличивается ли ее полная механическая энергия за период колебаний или уменьшается. При устойчивом движении происходит уменьшение энергии, а при неустойчивом движении – увеличение. Для определения диапазонов изменения периодически изменяющихся параметров, соответствующих областям устойчивости и неустойчивости, необходимо составить уравнение колебательного движения механической системы и получить его решение хотя бы в приближенной форме. Дальнейшее исследование этого решения позволит установить диапазоны изменения параметров системы, соответствующие областям устойчивого и неустойчивого режимов движения.

Без особых затруднений можно прейти к математическому описанию параметрических колебаний, рассмотрев в качестве примера параметрические колебания маятника, точка подвеса которого перемещается по вертикали с течением времени (рис.4.3).

Рис.4.3

Это механическая система с одной степенью свободы, так как закон вертикального перемещения опоры задан. Для описания относительного колебательного движения механической системы будем использовать угловую обобщенную координату . Уравнение относительного движения можно записать в виде

,

где и - обобщенные коэффициенты инерции и жесткости соответственно. Их значения подсчитываются следующим образом с помощью вычисления кинетической и потенциальной энергий:

; .

; .

Для малых углов отклонения , коэффициент жесткости равен

Уравнение колебательного движения принимает вид

, (4.1)

Это дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Обобщая рассмотренный пример, уравнение параметрических колебаний для механических систем с одной степенью свободы можно записать в виде

.

При решении этого уравнения возникают серьезные математические трудности. В литературе приводятся решения для некоторых частных случаев.

Уравнение Мейснера ;

график изменения функции изображен на рис.4.4;

Рис.4.4

Уравнение Матье ;

Уравнение Хилла .