Дифференциальное уравнение теплопроводности

При решении задач, связанных с нахождением температурного по­ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло­проводности.

Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени .

Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сде­ланы следующие допущения:

– тело изотропно;

– физические параметры постоянны;

– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

– внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:

количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теп­лопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо­трения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.

(*)

где dQ₁ – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;

dQ₂ – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.

Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQ_x, dQ_y, dQ_z.

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz.

Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,

где q_x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох

.

Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора

Если ограничиться двумя первыми членами ряда:

Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.

Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно

Обозначим через , Вт/м³, ко­личество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.

Тогда

Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, под­веденная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энер­гии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

где – изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);

ρ – плотность вещества, кг/м³.

Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим

,

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:

; ; .

где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим

(***)

Выражение (***) называется дифферен­циальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь меж­ду временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.

Можно обозначить

и

Тогда выражение (***) имеет вид:

Выражение (***) в цилиндрической системе координат:

где r – радиус-вектор;

φ – полярный угол;

z – аппликата.

Коэффициент пропорциональности а, м²/с, назы­вается коэффициентом температуропроводности и явля­ется физическим параметром вещества.

Он характеризует скорость изменения темпера­туры, т.е. являет­ся мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффи­циентом температуропроводности.

Коэффициент температуропроводно­сти зависит от природы вещества.

Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи­циентом температуропроводности.

Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температу­ропроводности.

Если система тел не содержит внутренних источ­ников теплоты (q_υ=0), то

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. , то

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведен­ная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:

(**)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то

где с_p – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).

В итоге (**) имеет вид: