Условия однозначности для процессов теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопро­водности в самом общем виде

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопро­водности в самом общем виде. Чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математи­ческое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

– геометрические условия (форма и размеры тела);

– физические условия (физические свойства среды и тела λ, с, ρ, q_υ);

– временнЫе (начальные) условия (распределение температур в теле в начальный момент времени);

– граничные условия (взаимодействие рассматри­ваемого тела с окружающей средой):

а) Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени

,

где t_c – температура на поверхности тела; x,y,z – координаты поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является по­стоянной на протяжении всего времени протекания процессов тепло­обмена, уравнение упрощается: .

б) Граничные условия второго рода. Зада­ются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени

где q_п – плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае . Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

в) Граничные условия третьего рода. При этом зада­ются температура окружающей среды t_ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Для описа­ния процесса теплообмена между поверхностью тела и средой исполь­зуется закон Ньютона – Рихмана: количество теплоты, отдавае­мое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела t_c и окружающей среды t_ж (t_с>t_ж)

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К), характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие тепло­отдачи, должно равняться теплоте, подводимой к еди­нице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).